Bac Blanc - Mathématiques
Épreuve anticipée STMG — Entraînement complet
Coefficient 3
2 heures
Exercice 1 — Pourcentages et évolutions
5 points📝 Énoncé
Une entreprise de e-commerce analyse l'évolution de son chiffre d'affaires (CA) sur trois ans.
| Année | 2022 | 2023 | 2024 |
|---|---|---|---|
| CA (en k€) | 450 | 504 | 529,2 |
- Calculer le taux d'évolution du CA entre 2022 et 2023.
- Calculer le taux d'évolution du CA entre 2023 et 2024.
- Calculer le taux d'évolution global du CA entre 2022 et 2024.
- Déterminer le taux d'évolution moyen annuel du CA sur cette période.
- Si cette tendance se maintient, quel sera le CA prévu en 2026 ? Arrondir au dixième.
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1. Taux d'évolution 2022 → 2023 :
t = (504 - 450) / 450 = 54/450 = 0,12 soit +12%
2. Taux d'évolution 2023 → 2024 :
t = (529,2 - 504) / 504 = 25,2/504 = 0,05 soit +5%
3. Taux d'évolution global 2022 → 2024 :
t_global = (529,2 - 450) / 450 = 79,2/450 ≈ 0,176 soit +17,6%
4. Taux d'évolution moyen annuel :
CM = (1 + 0,176)^(1/2) - 1 = √1,176 - 1 ≈ 1,0844 - 1 = 0,0844 soit +8,44% par an
5. CA prévu en 2026 :
CA_2026 = 529,2 × 1,0844² = 529,2 × 1,1759 ≈ 622,3 k€
Exercice 2 — Statistiques à deux variables
5 points📝 Énoncé
Un responsable marketing étudie la relation entre le budget publicitaire (en milliers d'euros) et le nombre de ventes mensuelles.
| Budget pub (xi) en k€ | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Ventes (yi) | 120 | 190 | 250 | 330 | 380 | 460 |
- Calculer les coordonnées du point moyen G.
- À l'aide de la calculatrice, déterminer l'équation de la droite de régression de y en x (arrondir à 0,1 près).
- Représenter graphiquement le nuage de points et la droite de régression.
- Estimer le nombre de ventes pour un budget publicitaire de 15 k€.
- Ce résultat est-il fiable ? Justifier.
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1. Point moyen G :
x̄ = (2+4+6+8+10+12)/6 = 42/6 = 7
ȳ = (120+190+250+330+380+460)/6 = 1730/6 ≈ 288,3
G(7 ; 288,3)
2. Droite de régression :
y = 33,7x + 52,4 (valeurs obtenues à la calculatrice avec la méthode des moindres carrés)
3. Représentation graphique :
Placer les 6 points et tracer la droite passant par G(7; 288,3). Les points sont bien alignés le long de la droite.
4. Estimation pour x = 15 :
y = 33,7 × 15 + 52,4 = 505,5 + 52,4 = 557,9 soit environ 558 ventes
5. Fiabilité :
Le résultat est peu fiable car x = 15 est en dehors de la plage des données observées (2 à 12). Il s'agit d'une extrapolation, qui suppose que la tendance linéaire se maintient, ce qui n'est pas garanti.
Exercice 3 — Probabilités
5 points📝 Énoncé
Une enquête de satisfaction auprès de 500 clients d'un magasin donne les résultats suivants :
| Satisfait (S) | Non satisfait (S̄) | Total | |
|---|---|---|---|
| Client fidèle (F) | 180 | 20 | 200 |
| Nouveau client (F̄) | 210 | 90 | 300 |
| Total | 390 | 110 | 500 |
On choisit un client au hasard parmi les 500.
- Quelle est la probabilité que le client soit satisfait ?
- Quelle est la probabilité que le client soit un nouveau client ET satisfait ?
- Sachant que le client est fidèle, quelle est la probabilité qu'il soit satisfait ?
- Les événements F et S sont-ils indépendants ? Justifier par le calcul.
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1. P(S) :
P(S) = 390/500 = 0,78 soit 78%
2. P(F̄ ∩ S) :
P(F̄ ∩ S) = 210/500 = 0,42 soit 42%
3. P_F(S) — probabilité conditionnelle :
P_F(S) = P(F ∩ S) / P(F) = (180/500) / (200/500) = 180/200 = 0,9 soit 90%
4. Indépendance :
P(F) × P(S) = 0,4 × 0,78 = 0,312
P(F ∩ S) = 180/500 = 0,36
Or 0,312 ≠ 0,36, donc F et S ne sont pas indépendants.
Interprétation : les clients fidèles sont davantage satisfaits que les nouveaux clients.
Exercice 4 — Fonctions et tableur
5 points📝 Énoncé
Une PME fabrique et vend un produit. Le coût total de production pour x articles (avec 0 ≤ x ≤ 100) est donné par :
C(x) = 0,5x² + 10x + 200
Le prix de vente unitaire est fixé à 60 €.
- Exprimer la recette R(x) en fonction de x.
- Exprimer le bénéfice B(x) = R(x) - C(x) et développer.
- Étudier le signe de B(x). Pour quelles quantités l'entreprise est-elle bénéficiaire ?
- Déterminer le nombre d'articles à produire pour maximiser le bénéfice.
- Reproduire et compléter le tableau suivant (extrait d'un tableur) :
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | x | C(x) | R(x) | B(x) |
| 2 | 10 | ? | ? | ? |
| 3 | 50 | ? | ? | ? |
Donner la formule à saisir en cellule D2.
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1. Recette :
R(x) = 60x
2. Bénéfice :
B(x) = 60x - (0,5x² + 10x + 200) = -0,5x² + 50x - 200
3. Signe de B(x) :
Δ = 50² - 4×(-0,5)×(-200) = 2500 - 400 = 2100
√Δ ≈ 45,83
x₁ = (-50 + 45,83) / (2×(-0,5)) ≈ 4,17 / 1 ≈ 4,2
x₂ = (-50 - 45,83) / (-1) ≈ 95,8
L'entreprise est bénéficiaire pour 5 ≤ x ≤ 95 articles (valeurs entières).
4. Maximum de B(x) :
B'(x) = -x + 50 = 0 → x = 50 articles
B(50) = -0,5(2500) + 50(50) - 200 = -1250 + 2500 - 200 = 1050 €
Le bénéfice maximum est de 1050 € pour 50 articles.
5. Tableau complété :
| x | C(x) | R(x) | B(x) |
|---|---|---|---|
| 10 | 350 | 600 | 250 |
| 50 | 1950 | 3000 | 1050 |
Formule en D2 : =C2-B2 ou =-0.5*A2^2+50*A2-200
