Consolider le calcul numérique et littéral
Atelier de référence pour réactiver les fractions, les puissances de dix, les unités, les équations et inéquations du premier degré, la substitution et le contrôle d’un résultat, à partir de situations de gestion fictives.
Environ 35 minutes
- Additionner et multiplier des fractions et leur donner un sens dans une situation de gestion.
- Utiliser les puissances de dix pour écrire un nombre et donner un ordre de grandeur.
- Manipuler correctement les unités : euros, kilogrammes, heures et pourcentages simples.
- Résoudre une équation et une inéquation du premier degré, en retournant le sens de l’inégalité lors d’une division par un nombre négatif.
- Substituer une valeur dans une expression et contrôler la vraisemblance d’un résultat.
Un prix remisé, une part de budget, un solde qui baisse chaque semaine : en gestion, tout repose sur des calculs courts qu’il faut réussir sans hésiter.
Le programme de mathématiques de première voie technologique, applicable en 2026-2027, présente les automatismes et le calcul comme des compétences transversales : elles sont entretenues toute l’année et ne forment pas un chapitre national à enseigner isolément (page 5 du programme). Sur AlloSTMG, le plan local en fait un atelier de référence, auquel tu peux revenir avant chaque chapitre. Tu y réactives les acquis de seconde (fractions, puissances de dix, unités, équations) et tu ajoutes les inéquations, la substitution et le contrôle du résultat. Toutes les situations de gestion proposées (associations, entreprises, comptes, abonnements) sont fictives : elles donnent du sens aux calculs, elles ne décrivent pas des données réelles. Les pourcentages apparaissent seulement comme des fractions simples ; les taux successifs relèvent d’une autre leçon.
Fractions : additionner, multiplier, donner du sens
Une fraction a/b représente le quotient de a par b. Prendre 3/4 d’une quantité, c’est la multiplier par 3/4 : 3/4 de 2 400 € = 3 × 2 400 ÷ 4 = 1 800 €. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100, ce qui donne des calculs rapides. Pour une remise de 15 % sur un article à 80 € : 15/100 × 80 = 12 €, donc le prix final est 80 − 12 = 68 €. De même, 20 % de 350 € = 20/100 × 350 = 70 €. Garde des images en tête : 50 % c’est la moitié, 25 % un quart, 20 % un cinquième.
Vocabulaire
- Numérateur et dénominateur :
- Dans la fraction a/b, a est le numérateur (le nombre de parts prises) et b le dénominateur (le nombre de parts égales du tout, non nul).
- Dénominateur commun :
- Nombre multiple de tous les dénominateurs, qui permet de comparer ou d’additionner des fractions.
- Fraction irréductible :
- Fraction que l’on ne peut plus simplifier, car numérateur et dénominateur n’ont plus de diviseur commun autre que 1.
Additionner et multiplier des fractions
- Pour additionner ou soustraire, cherche un dénominateur commun, transforme chaque fraction, puis additionne seulement les numérateurs en gardant le dénominateur.
- Pour multiplier, multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, en simplifiant si possible : 3/4 × 2/3 = 6/12 = 1/2.
- Pour prendre une fraction d’une quantité, multiplie la quantité par cette fraction.
- Simplifie le résultat, puis vérifie sa vraisemblance : une part d’un tout est comprise entre 0 et 1, et une somme de parts est plus grande que chacune d’elles.
Exemple résolu
Une association fictive dispose d’un budget de 2 400 €. Elle consacre 1/4 du budget à la location d’une salle et 2/5 à l’achat de matériel. Quelle fraction du budget reste-t-il ? Quelle somme cela représente-t-il ?
- Étape 1 : Un dénominateur commun à 4 et 5 est 20 : 1/4 = 5/20 et 2/5 = 8/20.
- Étape 2 : Fraction dépensée : 5/20 + 8/20 = 13/20.
- Étape 3 : Fraction restante : 20/20 − 13/20 = 7/20.
- Étape 4 : Somme restante : 7/20 × 2 400 = 7 × 120 = 840 €.
- Étape 5 : Contrôle : 1/4 de 2 400 = 600 € et 2/5 de 2 400 = 960 €. Total dépensé : 1 560 €. Reste : 2 400 − 1 560 = 840 €. Les deux calculs concordent.
Résultat : Il reste 7/20 du budget, soit 840 €.
Piège à éviter : Additionner les numérateurs et les dénominateurs : 1/4 + 2/5 ne vaut pas 3/9. Ce résultat, égal à 1/3, serait plus petit que 2/5 alors qu’une somme doit dépasser chaque terme.
À toi d'essayer
Une autre association fictive dispose de 360 €. Elle utilise 2/3 de cette somme pour un voyage, puis 3/4 du coût du voyage pour le transport. Quelle fraction de la somme initiale représente le transport ? Combien d’euros cela fait-il ?
Voir la réponseMasquer la réponse
Fraction : 3/4 × 2/3 = 6/12 = 1/2. Transport : 1/2 × 360 = 180 €. Contrôle : 2/3 de 360 = 240 € pour le voyage, puis 3/4 de 240 = 180 €.
Puissances de dix, ordre de grandeur et unités
Les puissances de dix permettent d’écrire proprement les très grands et les très petits nombres. On a 10³ = 1 000, 10⁰ = 1 et 10⁻² = 0,01 = 1/100. Pour multiplier deux puissances de dix, on additionne les exposants : 10⁵ × 10² = 10⁷. Pour les diviser, on les soustrait : 10⁵ ÷ 10² = 10³. En notation scientifique, un nombre s’écrit a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 : 32 000 = 3,2 × 10⁴ et 0,0045 = 4,5 × 10⁻³. Multiplier par 10ⁿ revient à décaler la virgule de n rangs vers la droite si n est positif, vers la gauche s’il est négatif.
Donner un ordre de grandeur avant de calculer
- Arrondis chaque nombre à un seul chiffre significatif : 4,2 × 10⁵ devient 4 × 10⁵ et 3,9 devient 4.
- Effectue le calcul de tête avec ces valeurs simples, en traitant à part les puissances de dix.
- Écris le résultat avec une puissance de dix.
- Compare avec le résultat exact : ils doivent avoir le même nombre de chiffres et un écart faible.
Exemple résolu
Une entreprise fictive vend 4,2 × 10⁵ clés USB au prix de 3,9 € l’unité. 1) Donne un ordre de grandeur du chiffre d’affaires. 2) Calcule-le exactement, puis exprime-le en millions d’euros (1 million = 10⁶).
- Étape 1 : Ordre de grandeur : 4 × 10⁵ × 4 = 16 × 10⁵ = 1,6 × 10⁶ €.
- Étape 2 : Calcul exact du facteur décimal : 4,2 × 3,9 = 16,38.
- Étape 3 : Chiffre d’affaires : 16,38 × 10⁵ = 1 638 000 €.
- Étape 4 : En notation scientifique : 16,38 × 10⁵ = 1,638 × 10⁶ €, soit 1,638 million d’euros.
- Étape 5 : Contrôle : 1,638 × 10⁶ est très proche de l’estimation 1,6 × 10⁶, donc pas d’erreur de virgule.
Résultat : Le chiffre d’affaires est de 1 638 000 €, soit 1,638 million d’euros, pour un ordre de grandeur de 1,6 × 10⁶ €.
Piège à éviter : Écrire 16,38 × 10⁵ = 1,638 × 10⁵ : en déplaçant la virgule d’un rang vers la gauche, il faut augmenter l’exposant de 1, ce qui donne 10⁶.
Un résultat sans unité n’a pas de sens en gestion. Écris toujours l’unité : euros (€), kilogrammes (kg), heures (h), ou pourcentage (%). Quelques repères : 1 t = 10³ kg, donc 2,5 t = 2 500 kg. Une durée décimale n’est pas une durée en heures et minutes : 2,25 h = 2 h + 0,25 × 60 min = 2 h 15 min. Un tarif en €/h multiplié par des heures donne des euros : 11,50 €/h × 7,5 h = 86,25 €. Les pourcentages servent aussi de contrôle : 19,8 % de 1 000 = 198, valeur très proche de 20 % de 1 000 = 200. Si tu trouvais 19,8 ou 1 980, l’ordre de grandeur t’alerterait aussitôt.
Résoudre une équation et une inéquation
Une équation cherche les valeurs de x qui rendent une égalité vraie. Dans un abonnement fictif à 5 € de frais fixes et 3 € par séance, 3x + 5 = 26 traduit un total de 26 €. Soustraire 5 des deux côtés donne 3x = 21 ; diviser par 3 donne x = 7. La substitution vérifie le résultat : 3 × 7 + 5 = 26. En contexte, x est un nombre de séances, donc une valeur négative ou décimale n’aurait pas de sens. Le contrôle algébrique et le contrôle de situation se complètent.
Vocabulaire
- Inconnue :
- Lettre représentant un nombre à déterminer.
- Équation :
- Égalité contenant une inconnue ; une solution rend l’égalité vraie.
- Inéquation :
- Comparaison contenant une inconnue ; son ensemble de solutions peut former un intervalle.
Une inéquation demande des valeurs qui vérifient une comparaison. On peut ajouter ou soustraire le même nombre des deux côtés sans changer son sens. Multiplier ou diviser par un nombre strictement positif le conserve aussi. Par un nombre strictement négatif, il faut le renverser : de 2 < 5, on obtient −2 > −5 en multipliant par −1. Écris ensuite clairement si la borne appartient ou non à l’ensemble des solutions. Pour x ≤ −3, la valeur −3 convient ; pour x < −3, elle est exclue.
Résoudre puis contrôler
- Regroupe les termes contenant x d’un côté et les nombres de l’autre.
- Isole x par les mêmes opérations des deux côtés.
- Dans une inéquation, retourne le sens si tu multiplies ou divises par un nombre négatif.
- Teste une valeur solution, une valeur non solution et, si possible, la borne.
- Reviens au contexte pour vérifier l’unité et les valeurs admissibles.
Exemple résolu
Une situation fictive conduit à l’inéquation −2x + 4 ≥ 10. Résous-la et vérifie deux valeurs.
- Étape 1 : Soustraire 4 des deux côtés : −2x ≥ 6.
- Étape 2 : Diviser par −2 inverse le sens : x ≤ −3.
- Étape 3 : Tester x = −3 : −2 × (−3) + 4 = 10, donc la borne convient.
- Étape 4 : Tester x = −4 : 12 ≥ 10 est vrai ; tester x = 0 : 4 ≥ 10 est faux.
Résultat : L’ensemble des solutions est x ≤ −3, ou ]−∞ ; −3]. La borne −3 est incluse.
Piège à éviter : Oublier de retourner ≥ lors de la division par −2 ferait écrire x ≥ −3, ensemble contredit par le test x = 0.
À toi d'essayer
Résous 5 − 3x < 11, puis teste x = −2 et x = 0.
Correction détaillée pas à pasDans ce chapitre : 2 corrections détaillées.
Substituer, estimer et rédiger une réponse
Substituer signifie remplacer une lettre par une valeur dans une expression en respectant les parenthèses et les priorités. Pour C(n) = 120 + 8n, avec n le nombre fictif de colis, C(25) = 120 + 8 × 25 = 320 €. La lettre n garde le même sens dans tout le calcul : si n désigne des colis, on ne lui attribue pas ensuite une durée. Écrire 120 + 8 × 25 = 3 200 serait une erreur de priorité ou de virgule ; l’estimation 120 + 200 ≈ 320 la révèle immédiatement.
À toi d'essayer
Un service fictif facture F(h) = 35 + 12h euros pour h heures. Un client dispose de 119 €. Combien d’heures entières au maximum peut-il financer ? Vérifie par substitution.
Correction détaillée pas à pasDans ce chapitre : 2 corrections détaillées.
Au bac : une réponse courte mais contrôlée
- Écris l’expression, l’équation ou l’inéquation correspondant à la question.
- Effectue les opérations en montrant les étapes qui déterminent le résultat.
- Vérifie par substitution ou ordre de grandeur.
- Conclue avec l’unité et, si nécessaire, la contrainte de la situation.
Les automatismes se travaillent régulièrement avec les autres notions de l’année. Dans une question brève de mathématiques, un résultat sans unité ou une valeur impossible ne répond pas complètement au problème. Un calcul mental d’ordre de grandeur avant la calculatrice évite beaucoup d’erreurs. Pour pratiquer, ouvre la rubrique S’entraîner du site à l’adresse /exercices.
Contrôles rapides
| Situation | Contrôle |
|---|---|
| Fraction | Même dénominateur pour additionner ; produit terme à terme pour multiplier. |
| Puissance de dix | L’exposant change quand on déplace la virgule. |
| Inéquation | Division par un nombre négatif : sens inversé. |
| Substitution | Remplacer la lettre puis respecter les priorités. |
À retenir
- Pour additionner des fractions, il faut un dénominateur commun ; pour les multiplier, on multiplie les numérateurs et les dénominateurs.
- 10ⁿ décrit une échelle décimale ; 10³ = 1 000 et 10⁻² = 0,01.
- Dans une inéquation, multiplier ou diviser par un nombre négatif renverse le sens de la comparaison.
- Une substitution remplace une lettre par une valeur ; l’égalité se contrôle en remplaçant dans l’expression de départ.
- Une réponse chiffrée conserve l’unité et doit rester plausible.
Fiche de révision : calculer et contrôler
Fractions
cherche une unité commune avant une somme ; pour une part d’un total, multiplie.
Puissances
déplacer la virgule modifie l’exposant en sens contraire dans l’écriture scientifique.
Équation
isole l’inconnue ; inéquation : surveille le signe du diviseur.
Substitution
remplace la lettre, garde les parenthèses, puis contrôle le résultat.
Estimation
compare l’échelle attendue à la valeur calculée et rédige l’unité.
Questions fréquentes
Pourquoi ne peut-on pas additionner directement 1/4 et 2/5 ?
Les parts n’ont pas la même taille. En vingtièmes, 1/4 = 5/20 et 2/5 = 8/20 ; leur somme est 13/20.
Quand faut-il inverser le signe d’une inéquation ?
Uniquement lorsqu’on multiplie ou divise les deux membres par un nombre strictement négatif. Ajouter ou soustraire le même nombre ne change pas le sens.
Pourquoi vérifier un calcul de gestion par un ordre de grandeur ?
Il permet de repérer une erreur de virgule ou d’unité avant d’interpréter le résultat. Il ne remplace pas le calcul exact.
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