Utiliser une variable aléatoire

Une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue d’une expérience aléatoire. On la note souvent X. Elle peut représenter un gain, un nombre de commandes ou un délai. Dans ce chapitre, elle prend un nombre fini de valeurs : on parle de variable aléatoire discrète finie. Il faut préciser ce que mesure le nombre et dans quelle unité.

Imaginons un jeu fictif avec dix tickets équiprobables. Cinq tickets ne rapportent rien, trois rapportent 3 € et deux rapportent 10 €. La participation coûte 2 €. On note X le gain net du joueur, c’est-à-dire la somme reçue moins le prix payé. Les valeurs de X sont donc −2 €, 1 € et 8 €. La même valeur peut correspondre à plusieurs tickets.

L’écriture {X = 1} désigne l’événement « le gain net vaut 1 € ». L’écriture {X ≤ 1} rassemble tous les résultats dont le gain net est inférieur ou égal à 1 €. On ne compare pas les numéros des tickets, mais les valeurs de la variable. Il est essentiel de définir X avant de chercher sa loi, surtout lorsqu’un gain brut et un gain net sont possibles.

L’espérance d’une variable aléatoire est la somme de ses valeurs multipliées par leurs probabilités. Pour trois valeurs x₁, x₂ et x₃, elle vaut x₁P(X = x₁) + x₂P(X = x₂) + x₃P(X = x₃). Cette moyenne pondérée s’exprime dans la même unité que X. Une valeur fréquente pèse davantage qu’une valeur rare.

L’espérance ne décrit pas nécessairement un résultat possible d’une seule expérience. Dans le jeu, on ne gagne jamais exactement 0,90 €, mais ce nombre peut être le gain moyen théorique. Lorsqu’on répète de nombreuses fois l’expérience dans les mêmes conditions et de façon indépendante, la moyenne des gains tend à se stabiliser autour de cette valeur. Cela ne garantit ni le résultat d’une partie ni celui d’une courte série.

Un jeu équilibré en moyenne ne signifie pas que personne ne perd. Avec une participation de 2,90 €, certains joueurs perdent leur participation et d’autres reçoivent davantage. Le mot équilibré concerne l’espérance, pas l’égalité des résultats ni l’absence de risque. Deux distributions peuvent avoir la même espérance tout en présentant des pertes et des gains très différents.

On peut coder un événement par une variable prenant la valeur 1 lorsqu’il se réalise et 0 sinon. Si sa probabilité de réalisation est p, cette variable suit une loi de Bernoulli de paramètre p. Sa loi est P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 − p. Son espérance est 1 × p + 0 × (1 − p) = p.

Ce codage permet de transformer le comptage de succès en addition de nombres. Dans une série de n essais, la somme des zéros et des uns est le nombre de succès. La moyenne de ces n nombres est la fréquence des succès. Une fréquence observée égale à 0,32 signifie 32 % de succès dans l’échantillon, pas que la probabilité du modèle a nécessairement changé.

Pour voir la fluctuation, il faut comparer plusieurs échantillons de même taille. On simule ici 400 échantillons, chacun composé de 100 essais de Bernoulli indépendants de paramètre 0,3. Pour chaque échantillon, on calcule la fréquence des succès. On obtient ainsi une série de 400 fréquences, dont on peut représenter le nuage et calculer l’écart-type.

Dans cette simulation, la moyenne des fréquences vaut 0,298825 et leur écart-type descriptif s vaut environ 0,0467. L’intervalle [p − s ; p + s] contient 264 des 400 fréquences, soit 66 %. Les intervalles construits avec 2s et 3s en contiennent respectivement 382 et 400, soit 95,5 % et 100 %. Ces nombres décrivent cette simulation précise ; ce ne sont pas des pourcentages universels garantis.

Une seconde simulation utilise 400 échantillons de taille 400. L’écart-type des fréquences vaut alors environ 0,0227, proche de la moitié du précédent. Multiplier la taille des échantillons par quatre réduit ici approximativement la dispersion d’un facteur deux. Cela illustre une dispersion de l’ordre de 1/√n ; la simulation ne constitue pas une démonstration d’une égalité exacte.

Si une fréquence observée est éloignée de p, plusieurs interprétations restent possibles : une fluctuation rare sous le modèle, des essais qui ne sont pas indépendants, une probabilité différente ou un problème de collecte. On ne décide pas automatiquement que le modèle est faux après une seule observation inhabituelle. Il faut examiner la taille de l’échantillon et les conditions de recueil.

Un algorithme de simulation d’échantillons comporte deux répétitions. La répétition intérieure produit les n essais et compte les succès ; la répétition extérieure recommence l’échantillon N fois. À la fin de chaque échantillon, on divise le nombre de succès par n et on conserve cette fréquence. Pour compter les fréquences dans [p − ks ; p + ks], il faut utiliser l’écart-type de toute la série des fréquences, pas celui des valeurs 0 et 1 d’un seul échantillon.

S’entraîner : poursuis dans l’espace d’exercices du site.