Modéliser par une loi binomiale

Une épreuve de Bernoulli est une expérience dont on distingue deux résultats : un succès S et son contraire, appelé échec. Le mot succès ne signifie pas forcément un résultat souhaitable. Dans un contrôle de qualité, on peut appeler succès la détection d’une pièce non conforme si c’est ce que l’on compte. Sa probabilité est notée p ; la probabilité de l’échec vaut 1 − p.

On répète cette épreuve un nombre fixé n de fois, avec la même probabilité p et de façon indépendante. La variable aléatoire X compte le nombre de succès obtenus. Elle prend les valeurs entières 0, 1, …, n et suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n ; p). Les paramètres n et p caractérisent le modèle ; X désigne le nombre aléatoire de succès, pas la probabilité d’un succès.

Les conditions doivent être justifiées dans le contexte. Quatre clients interrogés ne fournissent pas automatiquement quatre réponses indépendantes : ils pourraient s’influencer. Une probabilité peut aussi varier selon les profils. Dans cette leçon, les situations sont fictives et les hypothèses sont données explicitement. Pour un tirage avec remise et mélange, la constance de la composition aide à justifier le modèle. Un prélèvement sans remise dans un petit stock exige généralement un autre raisonnement.

On modélise quatre propositions commerciales fictives par quatre épreuves indépendantes. Pour chacune, la probabilité d’obtenir un accord est p = 0,25. Un accord est le succès. Avant de traiter les quatre propositions, l’arbre suivant montre les deux premières répétitions : chaque deuxième niveau conserve la même probabilité de succès, quel que soit le résultat précédent.

Un ordre précis comprenant un succès et trois échecs, par exemple S puis E puis E puis E, a pour probabilité 0,25 × 0,75³. Mais « exactement un succès » peut se produire à quatre positions différentes. Ces chemins sont incompatibles : on additionne leurs probabilités identiques. Le coefficient binomial compte ce nombre de chemins. Pour deux succès parmi quatre répétitions, les positions possibles sont 12, 13, 14, 23, 24 et 34, soit six choix.

Pour un entier k entre 0 et n, la formule générale est P(X = k) = C(n,k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. La notation C(n,k) désigne le coefficient binomial, également écrit avec n au-dessus de k entre parenthèses. Le facteur pᵏ concerne les succès ; l’autre puissance concerne les n − k échecs. Le coefficient compte les positions, pas des probabilités supplémentaires.

« Exactement k » correspond à X = k. « Au plus k » correspond à X ≤ k et additionne les valeurs de 0 à k. « Au moins k » correspond à X ≥ k et additionne les valeurs de k à n. Le contraire de X ≥ k est X ≤ k − 1, car X est entier. Ce décalage d’une unité est essentiel : remplacer k − 1 par k enlèverait aussi le cas de k succès, pourtant autorisé.

Sur une calculatrice, distingue la fonction de probabilité exacte de la fonction cumulée jusqu’à une borne. Les noms et l’ordre des paramètres varient selon le modèle : vérifie la notice et le sens de chaque champ. Un résultat cumulant de 0 à k se traduit par P(X ≤ k). Pour une borne inférieure, utilise le complément en conservant le décalage entier. Un résultat compris entre 0 et 1 est nécessaire, mais ne suffit pas à prouver que la bonne commande a été choisie.

Pour X suivant B(n ; p), l’espérance vaut E(X) = np. Elle représente le nombre moyen de succès lorsque l’on répète un grand nombre de fois l’ensemble des n épreuves dans les mêmes conditions. Dans le modèle B(4 ; 0,25), l’espérance vaut 1 accord par série de quatre propositions. Cela ne veut pas dire que chaque série produit exactement un accord : on vient de calculer que zéro accord reste possible avec une probabilité supérieure à 0,3.

Une simulation permet d’observer cette variabilité. Pour simuler une proposition de probabilité d’accord 0,25, tire un nombre aléatoire uniforme entre 0 inclus et 1 exclu : compte un succès s’il est inférieur à 0,25. Répète quatre fois et additionne les succès pour obtenir une valeur simulée de X. Recommence ensuite 10 000 séries, en remettant le compteur de succès à zéro au début de chaque série.

On peut alors calculer la fréquence des séries ayant exactement deux accords et la moyenne des nombres d’accords. Ces résultats devraient fluctuer autour des valeurs théoriques 0,2109375 et 1 lorsque le modèle est bien simulé et le nombre de séries grand. Ils ne leur sont pas forcément égaux. Augmenter le nombre de séries réduit généralement les fluctuations, sans transformer une observation numérique en démonstration.

Erreurs fréquentes : compter les échecs avec la probabilité des succès ; oublier un coefficient ; confondre cumul et probabilité exacte ; utiliser une binomiale sans indépendance. S’entraîner : poursuis dans le hub /exercices.