Modéliser avec les fonctions

Une fonction associe à chaque valeur autorisée de la variable une unique valeur de sortie. On note f(x) l’image de x par f ; la notation x ↦ f(x) décrit l’association. La lettre f désigne la fonction, tandis que f(3) désigne un nombre lorsque 3 appartient au domaine de définition. Écrire f(x) ne signifie donc pas multiplier f par x. Le domaine précise les valeurs que l’on peut effectivement utiliser. Il peut être imposé par une formule ou par le contexte.

Dans une entreprise fictive, un coût de fabrication peut dépendre de la quantité produite. Si x compte des sacs, x est un entier positif ou nul. Une courbe continue peut aider à étudier le modèle sur un intervalle réel, mais la réponse finale doit tenir compte du nombre entier de sacs. Si x représente une masse en kilogrammes, des valeurs non entières peuvent avoir un sens. Annonce toujours ce que représentent l’entrée et la sortie, leurs unités et les limites de validité du modèle.

Une expression algébrique permet de calculer une image. Un tableau donne certaines valeurs, sans décrire nécessairement tout ce qui se passe entre elles. Une courbe montre les couples (x ; f(x)) dans un repère. Ces trois représentations se complètent : la formule sert au calcul exact, le tableau compare quelques situations et le graphique permet de voir une allure générale. Une droite passant par deux points donnés n’est justifiée que si le modèle est affine ; deux points quelconques ne suffisent pas à prouver cette forme.

Pour lire une image, pars de l’abscisse donnée, rejoins verticalement la courbe puis lis l’ordonnée correspondante. Le trajet peut monter ou descendre selon la position de la courbe. Pour chercher les antécédents d’un nombre k, utilise la droite horizontale d’ordonnée k : chaque intersection fournit une abscisse. Une image est unique pour une entrée donnée ; un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents. La courbe d’une fonction ne peut pas couper une même verticale en deux points distincts.

Sur cette courbe, chercher g(x) = 1 revient à chercher les intersections avec l’horizontale de hauteur 1. Chercher g(x) < 1 revient à repérer toutes les portions de courbe situées strictement au-dessous de cette horizontale, puis à lire les abscisses correspondantes. Les abscisses où l’égalité est atteinte sont exclues d’une inégalité stricte et incluses d’une inégalité large. Une réponse graphique se formule avec un intervalle ou une réunion d’intervalles, puis se restreint au domaine étudié.

Une lecture graphique donne généralement une valeur approchée, dépendant des graduations et de l’épaisseur du tracé. Quand une expression est disponible, un calcul peut confirmer une valeur exacte. Si la courbe n’est visible que sur [0 ; 4], ne conclus pas sur des abscisses extérieures. Le signe d’une fonction concerne sa position par rapport à la hauteur zéro : positive au-dessus, négative au-dessous, nulle sur l’axe horizontal. Il ne se déduit pas du fait que la courbe monte ou descend.

Entre deux abscisses distinctes a et b, le taux de variation de f est le quotient (f(b) − f(a)) / (b − a). Il mesure la variation de sortie par unité d’entrée. Son unité est donc celle de f divisée par celle de x. Pour un coût en euros et une quantité en sacs, il s’exprime en euros par sac. Ce taux n’est pas un taux d’évolution en pourcentage : son dénominateur est la variation de l’entrée, pas une valeur initiale de coût.

Géométriquement, ce quotient est le coefficient directeur de la sécante passant par les points A(a ; f(a)) et B(b ; f(b)). Une sécante relie deux points distincts de la courbe ; elle n’est pas nécessairement la courbe elle-même. Pour une fonction affine, tous ces taux sont égaux à son coefficient directeur. Pour une fonction courbe, ils peuvent varier selon les deux abscisses choisies. Inverser simultanément l’ordre des deux soustractions conserve le quotient ; en inverser une seule change son signe.

Une fonction est croissante sur un intervalle lorsque, pour tous a < b de cet intervalle, f(a) ≤ f(b). Elle est strictement croissante si l’inégalité entre les images est stricte. Pour une fonction décroissante, l’ordre est inversé : f(a) ≥ f(b). Une fonction monotone est croissante ou décroissante sur l’intervalle considéré. Pour a < b, le dénominateur b − a est positif ; le signe du taux de variation dépend donc de f(b) − f(a). Il faut considérer toutes les paires, pas un seul exemple.

La fonction g décroît sur [0 ; 2] puis croît sur [2 ; 4]. Son minimum sur [0 ; 4] vaut 0 et il est atteint en 2. Ses valeurs maximales sur ce domaine valent 4, atteintes en 0 et en 4. Un tableau de variations résume les bornes, les valeurs importantes et les sens de variation. Il ne remplace pas un tableau de valeurs : ses flèches indiquent un comportement sur des intervalles, pas seulement quelques résultats isolés.

Avant de calculer, traduis la question en langage mathématique. « Quel coût pour cette quantité ? » demande une image. « Quelle quantité pour ce montant ? » demande des antécédents. « Ne pas dépasser ce budget » demande une inéquation. « Comment évolue la grandeur ? » demande des variations sur un intervalle. Cette traduction détermine le bon sens de lecture et évite de donner un résultat exact qui ne répond pas à la question posée.

Pour construire un tableau avec un outil numérique, place les abscisses dans une colonne et les images dans la suivante. Pour C(x), si A2 contient une quantité, la formule =5*A2+200 calcule son coût. Un nuage de points permet ensuite de vérifier la cohérence de l’échelle. Pour un modèle non affine, multiplier les points peut suggérer une allure, mais ne constitue pas une preuve générale de monotonie. Le calcul et le raisonnement doivent confirmer ce qui est demandé avec exactitude.

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