Étudier un polynôme de degré deux

Un polynôme de degré deux s’écrit f(x) = ax² + bx + c, avec a non nul. Les coefficients a, b et c sont des nombres fixés ; x est la variable. Le terme de plus haut degré est ax². Si a vaut zéro, la fonction n’est plus du second degré. Dans les problèmes, on rencontre plusieurs écritures d’une même fonction. L’objectif est de reconnaître celle qui rend la question facile, sans appliquer automatiquement une procédure générale de résolution.

La forme ax² montre directement le rôle du carré. Pour un réel x, x² est positif ou nul, et (−x)² = x². La courbe est symétrique par rapport à l’axe vertical x = 0. Si a est positif, le point d’abscisse zéro est le point le plus bas ; si a est négatif, il est le point le plus haut. La forme ax² + c ajoute c à toutes les images : elle déplace la courbe verticalement, tout en gardant le même axe de symétrie.

La courbe d’un polynôme du second degré est une parabole. Son sommet est le point où elle change de sens de variation. Si a est positif, elle descend jusqu’au sommet puis remonte ; si a est négatif, elle monte jusqu’au sommet puis redescend. Les mots minimum et maximum désignent la valeur extrême de la fonction ; les coordonnées du sommet comprennent aussi l’abscisse où cette valeur est atteinte. Le sens d’ouverture dépend du signe de a, pas du signe de c.

Une écriture a(x − r)(x − s) est une forme factorisée, avec a non nul. Les racines se lisent directement : r et s. Cela vient de la règle du produit nul, selon laquelle un produit de nombres est nul si et seulement si au moins un facteur est nul. Il ne faut pas confondre le signe écrit dans la parenthèse et la racine : le facteur x + 3 s’annule en −3. Pour vérifier une racine supposée, remplace x par cette valeur dans l’expression initiale.

Toutes les fonctions du second degré n’ont pas deux racines réelles distinctes. Par exemple, x² + 1 reste strictement positif et n’a aucune racine réelle. La fonction x² n’a qu’une racine distincte, zéro, présente deux fois dans x × x. Dans les cas étudiés ici, on exploite une factorisation fournie ou simple à trouver. Le discriminant n’est pas nécessaire. Une représentation ou un outil peut suggérer une racine ; seule la substitution dans l’expression permet de confirmer exactement la valeur proposée.

Connaître une racine aide parfois à factoriser par regroupement. Pour x² − 5x + 6, on vérifie que 2 est une racine : 4 − 10 + 6 = 0. On écrit ensuite x² − 2x − 3x + 6, puis x(x − 2) − 3(x − 2), soit (x − 2)(x − 3). Le choix du découpage permet de faire apparaître le même facteur. En redéveloppant, on contrôle que la nouvelle écriture correspond bien au polynôme de départ.

On peut aussi repérer l’axe sans connaître les racines, en trouvant deux abscisses distinctes de même image. Pour q(x) = x² − 6x + 5, résoudre q(x) = 5 donne x² − 6x = 0, soit x(x − 6) = 0. Les abscisses 0 et 6 ont donc la même image. Leur milieu, 3, donne l’axe, puis q(3) = −4 donne le sommet. Cette démarche exploite la symétrie de la parabole ; elle ne suppose aucune formule à mémoriser pour l’abscisse du sommet.

Pour étudier un produit, ordonne ses racines sur une ligne puis détermine le signe de chaque facteur entre elles. Le facteur x − r est négatif avant r, nul en r, positif après r. Multiplie les signes et n’oublie pas le coefficient a. Lorsque les deux racines sont distinctes, a(x − r)(x − s) a le signe de a à l’extérieur des racines et le signe opposé entre elles. Aux racines, la valeur est zéro. Cette règle se comprend par le produit des signes, elle ne remplace pas leur vérification.

Si les deux racines coïncident, le polynôme s’écrit a(x − r)². Le carré ne change pas de signe lorsqu’on traverse r : le produit garde le signe de a de chaque côté et s’annule seulement en r. Il serait donc faux d’appliquer mécaniquement une alternance de signes à une racine double. Une inéquation large inclut les racines lorsque zéro convient ; une inéquation stricte les exclut. Enfin, les solutions doivent être intersectées avec le domaine de la situation.

Choisis la forme adaptée à la demande. Pour calculer l’image de zéro, la forme développée donne immédiatement c. Pour résoudre f(x) = 0 ou étudier le signe, la forme factorisée est souvent la plus utile. Pour comprendre la symétrie, compare des valeurs de part et d’autre de l’axe. Pour conclure sur un maximum dans une situation de gestion, vérifie que le sommet appartient au domaine ; sinon l’extrémum sur le domaine peut être atteint à une borne.

Un tableau de valeurs peut servir de contrôle. Pour p(x) = 2(x − 1)(x − 5), les images de 2 et 4 valent toutes deux −6, de part et d’autre de l’axe x = 3. Cette égalité est cohérente avec la symétrie. Toutefois, une liste finie d’images ne démontre pas à elle seule la forme générale de la courbe. Une fonction définie par une autre expression pourrait partager ces valeurs ; ici, c’est la connaissance du polynôme qui justifie la parabole.

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