Étudier un polynôme de degré trois

Le cube d’un nombre x est le produit de trois facteurs égaux à x : x³ = x × x × x. Le cube conserve le signe de x. Ainsi, 2³ = 8 et (−2)³ = −8. Cette propriété distingue le cube du carré, qui est toujours positif ou nul. Le seul nombre dont le cube vaut zéro est zéro. Les parenthèses sont utiles pour remplacer x par un nombre négatif sans perdre son signe dans le calcul.

La fonction cube x ↦ x³ est strictement croissante sur les réels. Quand l’entrée augmente, son cube augmente aussi. Deux nombres différents ne peuvent donc pas avoir le même cube. La courbe passe par l’origine et présente une symétrie centrale par rapport à celle-ci : changer x en −x change le signe de l’image. Il ne s’agit pas d’une symétrie par rapport à l’axe vertical, contrairement à la fonction carré. Les valeurs négatives ne doivent pas être effacées du graphique.

Dans f(x) = ax³, le coefficient a est non nul. Si a est positif, la multiplication conserve l’ordre des images : f est strictement croissante. Si a est négatif, l’ordre est inversé : f est strictement décroissante. Ajouter un nombre b dans ax³ + b déplace toutes les images de b sans changer le sens de variation. Le point de coordonnées (0 ; b) appartient à la courbe. Il n’est pas un maximum ou un minimum, puisque la fonction reste strictement monotone.

Une expression a(x − r)(x − s)(x − t), avec a non nul, est un polynôme de degré trois. Le développement comporte un terme ax³. Ses racines sont les valeurs qui annulent au moins un facteur : r, s et t. Ces valeurs peuvent être distinctes ou répétées. Il n’y a pas ici de méthode générale de résolution d’une équation quelconque du troisième degré. On exploite la forme simple donnée, un facteur commun ou une identité directement vérifiable.

Un facteur x correspond à la racine zéro. Par exemple, x³ − 4x = x(x² − 4), puis x(x − 2)(x + 2). On a mis x en facteur, puis utilisé une différence de carrés. Les racines sont −2, 0 et 2. Pour vérifier la factorisation, on peut redévelopper : (x − 2)(x + 2) = x² − 4, puis multiplier par x. Substituer chaque racine dans la forme initiale permet également de contrôler les résultats.

Le signe d’une racine ne se lit pas comme le signe imprimé dans une parenthèse. Pour x + 2, l’équation x + 2 = 0 donne −2. Un coefficient placé devant le produit ne change pas les racines s’il est non nul, mais il peut changer le signe du polynôme. Les expressions p(x) et −p(x) s’annulent donc aux mêmes endroits ; leurs courbes sont symétriques par rapport à l’axe horizontal. Connaître les racines seules ne détermine pas ce coefficient.

Pour déterminer le signe d’un produit de trois facteurs, commence par classer les racines. Elles découpent la droite réelle en intervalles. Sur chacun, donne le signe de chaque facteur, puis compte les facteurs négatifs. Un nombre pair de facteurs négatifs donne un produit positif ; un nombre impair donne un produit négatif. Le coefficient a intervient lui aussi dans ce calcul. Aux racines, le produit vaut zéro, indépendamment du signe des autres facteurs.

Pour p(x) = x(x − 2)(x + 2), les racines ordonnées sont −2, 0 et 2. Avant −2, les trois facteurs sont négatifs : p est négatif. Entre −2 et 0, x et x − 2 sont négatifs, x + 2 positif : p est positif. Entre 0 et 2, seul x − 2 est négatif : p est négatif. Après 2, tous les facteurs sont positifs. Cette justification vaut sur chaque intervalle entier, contrairement à un simple calcul en un point.

Si une racine est répétée deux fois, son passage ne provoque pas forcément de changement de signe. Dans h(x) = (x − 1)²(x + 2), le carré est strictement positif sauf en 1, où il s’annule. Le signe de h est donc celui de x + 2 en dehors de 1. On obtient une valeur négative avant −2, zéro en −2, des valeurs positives après −2 sauf zéro en 1. Une règle d’alternance appliquée sans examiner les facteurs serait fausse.

Le signe indique si l’image est positive, négative ou nulle. Les variations indiquent comment les images se comparent lorsque x augmente. Dans la deuxième figure, la courbe reste positive sur ]−2 ; 0[ mais commence par monter puis redescend. Un tableau de signes n’est donc pas un tableau de variations. Pour étudier complètement les variations d’un polynôme général de degré trois, la dérivation fournit un outil étudié dans un autre chapitre ; il n’est pas nécessaire de l’anticiper pour résoudre une inéquation sous forme factorisée.

Une représentation numérique est un contrôle utile : elle permet de vérifier que les passages par zéro correspondent aux racines trouvées. Cependant, la fenêtre choisie peut cacher une partie de la courbe. Un tracé peu précis peut également masquer une racine où la courbe touche l’axe sans le traverser. Il faut conserver l’argument algébrique : les facteurs expliquent pourquoi une valeur est racine et pourquoi un signe reste constant entre les racines.

Dans une situation géométrique, un cube peut représenter un volume. Pour une boîte cubique de côté x centimètres, le volume vaut x³ centimètres cubes et le domaine physique impose x ≥ 0. La partie négative de la fonction mathématique n’a alors pas de sens comme longueur. Dans une situation de gestion, les unités et le domaine doivent être fournis séparément ; une belle courbe ne justifie pas à elle seule un modèle économique ou une extrapolation.

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