Construire et représenter une suite

Une suite numérique associe un nombre à chaque rang entier autorisé. On note d’abord u(n) la valeur de rang n, puis on utilise aussi la notation uₙ. Les deux notations désignent le même terme. Le rang n indique une position ; u(n) donne la valeur à cette position. Si u(3) = 120, le rang est trois et le terme vaut cent vingt. Une suite se distingue d’une fonction étudiée sur un intervalle réel : on ne cherche pas ici la valeur au rang 2,5.

Le premier rang peut être zéro ou un, selon la situation. Si janvier correspond au rang zéro, février correspond au rang un et avril au rang trois. Il s’est écoulé trois transitions de janvier à avril, mais on a observé quatre mois. Si le premier versement porte le numéro un, le cinquième versement est au rang cinq. Commence toujours par écrire la correspondance entre le rang et la date ou l’événement avant d’utiliser une formule.

Une suite peut représenter un stock en fin de mois, le prix d’un article à chaque anniversaire ou une population observée chaque année. Dans chaque cas, précise l’unité et l’instant exact de mesure. Un stock avant livraison et un stock après livraison ne décrivent pas la même suite. Le modèle peut être défini pour tous les rangs entiers mathématiquement, tout en n’étant pertinent que sur quelques périodes dans le contexte. Les exemples de gestion de cette leçon sont fictifs.

Quelques termes ne déterminent pas une suite entière. La liste 1, 2, 5 peut être prolongée de nombreuses façons. Une règle doit être donnée ou justifiée par le modèle. Constater un motif aide à formuler une conjecture, mais ne prouve pas que toutes les valeurs suivantes lui obéissent. Dans une situation réelle, des données historiques peuvent soutenir une hypothèse de travail ; elles ne garantissent pas son maintien dans l’avenir.

Une définition explicite donne u(n) en fonction du seul rang n. Par exemple, u(n) = n² + 1 permet de calculer directement le terme de rang cinq sans connaître ceux qui précèdent. On remplace toutes les occurrences de n par le rang demandé, en respectant les priorités opératoires. La notation u(n + 1) signifie que l’on remplace n par n + 1 dans toute la formule. Elle ne signifie pas u(n) + 1, qui ajoute un au terme déjà calculé.

Un tableau de valeurs aligne les rangs et leurs images. Pour u(n) = n² + 1, les six premiers termes, si l’on commence à zéro, sont ceux des rangs zéro à cinq. Dans un tableur, A2 peut contenir zéro, A3 la formule =A2+1 ; B2 contient =A2*A2+1. La recopie vers le bas utilise le rang de chaque ligne. Une formule explicite dépend de la cellule du rang, tandis qu’une récurrence dépend habituellement de la cellule du terme précédent.

Une définition par récurrence donne un terme initial et une règle pour obtenir le suivant à partir du précédent. Par exemple, s(0) = 10 et s(n + 1) = 0,5s(n) + 20 définissent une suite. Pour calculer s(3), il faut successivement calculer s(1), s(2), puis s(3). La règle seule ne suffit pas : avec un autre terme initial, les valeurs changeraient. Le rang de départ fait partie de la définition, au même titre que la formule de mise à jour.

Imaginons un stock de matière mesuré en kilogrammes. Entre deux relevés, la moitié du stock précédent est consommée, puis une livraison de 20 kg arrive. Le nouveau stock vaut donc la moitié du précédent plus vingt. L’ordre des opérations compte : ajouter vingt avant de diviser par deux décrirait une autre situation. Cette règle comprend à la fois une multiplication et une addition. Toutes les suites ne sont pas simplement des additions constantes ou des multiplications constantes.

Pour réaliser cette récurrence au tableur, A2 contient 0 et B2 contient 10. A3 contient =A2+1 et B3 contient =0,5*B2+20 dans un tableur à virgule décimale. Après recopie, B4 utilise B3. En Python, initialise stock = 10, puis répète la mise à jour stock = 0.5*stock + 20 autant de fois que nécessaire. Une liste peut conserver tous les termes : elle doit commencer par le terme initial avant d’ajouter les résultats des passages.

La représentation d’une suite est un nuage de points de coordonnées (n ; u(n)). Les abscisses sont les rangs et les ordonnées les termes. On garde ici les points isolés : une ligne continue pourrait suggérer des valeurs à des rangs non entiers. Observe les unités et les graduations avant de comparer les écarts. La hauteur d’un point renseigne sur la valeur du terme ; l’évolution de gauche à droite suggère le sens de variation.

Une suite est croissante si u(n + 1) ≥ u(n) pour tous les rangs concernés. Elle est strictement croissante si toutes ces inégalités sont strictes. Elle est décroissante lorsque les inégalités sont inversées. Une suite constante est à la fois croissante et décroissante au sens large. Une suite peut aussi n’être ni l’une ni l’autre. Par exemple, des valeurs qui alternent entre 2 et 4 montent puis descendent : la positivité de tous les termes ne suffit pas à prouver la croissance.

Pour justifier une variation, étudie la différence u(n + 1) − u(n) sur l’ensemble des rangs. Si elle est positive ou nulle, la suite est croissante ; si elle est négative ou nulle, elle est décroissante. Pour n² + 1, cette différence vaut 2n + 1, strictement positive lorsque n ≥ 0. Cette expression justifie tous les rangs autorisés. Observer seulement six points alignés dans un sens ne prouverait pas la même propriété sur une infinité de rangs.

La validité d’un modèle ne se confond pas avec la justesse de ses calculs. Prolonger les dépenses précédentes à très long terme finirait par produire des valeurs négatives, qui n’ont pas forcément de sens comme dépenses. Le domaine de dix mois est donc essentiel. De même, une récurrence peut bien calculer les valeurs prévues sans prouver que la consommation ou les livraisons seront réellement constantes. Une réponse responsable rappelle l’hypothèse plutôt que de transformer une prévision en fait certain.

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