Relier dérivée, tangente et variations

Une fonction associe une valeur à chaque nombre de son domaine. Si f décrit un coût, f(2) est un coût et non une vitesse d’évolution. Pour comparer deux productions a et b distinctes, on calcule le taux de variation (f(b) − f(a))/(b − a). Le numérateur mesure la variation du coût, le dénominateur celle de la production. Ce quotient mesure donc un changement moyen par unité de production. Il peut être positif, nul ou négatif.

Sur la courbe, les points A(a ; f(a)) et M(b ; f(b)) déterminent une droite sécante. Son coefficient directeur est ce taux de variation. Quand M se rapproche de A, la sécante peut se rapprocher d’une position limite, appelée tangente en A. La pente de cette tangente est alors le nombre dérivé f′(a). On parle d’évolution instantanée, car on observe le comportement au voisinage immédiat de a.

Pour f(x) = x² et a = 1, prenons b = 1 + h avec h non nul. Le quotient vaut ((1 + h)² − 1)/h = 2 + h. Avec h = 0,1, il vaut 2,1 ; avec h = 0,01, il vaut 2,01. Avec h = −0,01, il vaut 1,99. Lorsque h se rapproche de zéro, ces pentes se rapprochent de 2. Ainsi f′(1) = 2. On n’a jamais divisé par zéro : on étudie des nombres h non nuls de plus en plus petits.

Le nombre dérivé concerne une abscisse fixée. La fonction dérivée f′ associe à chaque x le nombre dérivé en x, lorsque celui-ci existe. Pour les polynômes étudiés ici, on peut dériver pour tout réel. Les règles de base sont les suivantes : la dérivée d’une constante c est 0 ; celle de x est 1 ; celle de x² est 2x ; celle de x³ est 3x².

On dérive une somme terme à terme. Multiplier une fonction par une constante multiplie aussi sa dérivée par cette constante. Par exemple, la dérivée de 4x³ − 5x² + 7x − 9 est 12x² − 10x + 7. Le terme constant disparaît parce qu’il déplace la courbe verticalement sans changer ses pentes. Cette règle ne signifie pas que l’on efface tous les nombres : les coefficients de x³, x² et x restent utiles.

Pour obtenir l’équation d’une tangente en a, il faut deux informations différentes : f(a), qui donne la hauteur du point de contact, et f′(a), qui donne la pente. L’équation est y = f′(a)(x − a) + f(a). En remplaçant x par a, on retrouve nécessairement y = f(a). Ce contrôle rapide permet de repérer une erreur de signe ou une confusion entre image et nombre dérivé.

Sur un intervalle où une fonction est dérivable, une dérivée positive ou nulle entraîne que la fonction est croissante ; une dérivée négative ou nulle entraîne qu’elle est décroissante. Une dérivée strictement positive donne une croissance stricte, et une dérivée strictement négative une décroissance stricte. Une dérivée nulle partout sur l’intervalle correspond à une fonction constante.

Pour un polynôme, on calcule la dérivée, on recherche ses zéros puis on étudie son signe entre ces valeurs. On traduit ensuite ce signe par des flèches de variation de la fonction initiale. Les valeurs placées aux extrémités des flèches sont les images par f, jamais les images par f′. Les bornes de l’intervalle donné doivent apparaître, même si la dérivée ne s’y annule pas.

Un extremum local est une plus grande ou une plus petite valeur dans un voisinage du point considéré. Un extremum global concerne tout l’intervalle étudié. Pour les polynômes, un passage de la dérivée du positif au négatif signale un maximum local, et le passage inverse un minimum local. Pour conclure sur tout un intervalle fermé, il faut aussi prendre en compte les valeurs aux bornes.

Une calculatrice ou un tableur peut aider à conjecturer un résultat, mais une fenêtre graphique mal choisie peut cacher un maximum. Deux valeurs positives de la dérivée ne prouvent pas qu’elle reste positive entre elles. Pour une expression affine comme −2x + 6, l’équation du zéro et le signe du coefficient de x fournissent une justification complète. Pour une expression factorisée, on combine le signe de chacun des facteurs.

La pente lue sur un dessin dépend des graduations, pas seulement de l’inclinaison apparente du trait. Pour calculer un coefficient directeur, utilise les coordonnées de deux points. Si une unité horizontale représente 100 objets et une unité verticale 1 000 €, une pente de 2 correspond à 2 000 € par centaine d’objets, soit 20 € par objet. L’interprétation exige cette conversion.

S’entraîner : retrouve des exercices complémentaires dans l’espace d’entraînement du site.