Comparer les modèles discrets

Une suite arithmétique est définie par l’ajout d’un même nombre à chaque étape. Ce nombre est sa raison, notée r. La relation s’écrit u(n + 1) = u(n) + r. Pour démontrer qu’une suite est arithmétique, on montre que la différence u(n + 1) − u(n) est constante pour tous les rangs concernés. Une différence observée identique sur quelques données permet seulement de proposer ce modèle si aucune règle générale n’est donnée.

Si le premier terme est u(0), le terme de rang n vaut u(n) = u(0) + nr. En effet, passer du rang zéro au rang n correspond à n ajouts de r. Si le premier terme est u(1), la formule devient u(n) = u(1) + (n − 1)r. Plus généralement, de m à n, on effectue n − m transitions. La formule doit suivre le rang initial réel, pas une habitude de notation.

Le signe de r détermine les variations : si r > 0, la suite est strictement croissante ; si r < 0, elle est strictement décroissante ; si r = 0, elle est constante. Cette conclusion ne dépend pas du signe du terme initial. Une suite peut partir d’une valeur négative et augmenter, ou rester positive pendant plusieurs étapes tout en diminuant. Le modèle s’applique à une variation absolue constante, exprimée dans la même unité que les termes.

Une suite géométrique se construit en multipliant chaque terme par un même nombre q, appelé raison : v(n + 1) = qv(n). Dans les modèles étudiés ici, le terme initial est strictement positif et q > 0 ; tous les termes restent donc strictement positifs. Le quotient v(n + 1)/v(n) vaut alors q pour tous les rangs. Cette division ne doit jamais être utilisée avec un dénominateur nul.

Une hausse constante de t % correspond à q = 1 + t/100. Une baisse constante de t %, avec 0 < t < 100, correspond à q = 1 − t/100. Le pourcentage s’applique à la valeur de la période précédente. Les augmentations en euros ne sont donc généralement pas constantes : avec une hausse de 20 %, passer de 100 à 120 ajoute 20, puis passer de 120 à 144 ajoute 24. Le taux est constant, mais pas la différence.

Si le rang initial est zéro, v(n) = v(0)qⁿ. L’exposant n compte les multiplications par q. Depuis le rang un, on écrit v(n) = v(1)qⁿ⁻¹. Avec v(0) > 0 et q > 0, la suite est strictement croissante pour q > 1, constante pour q = 1 et strictement décroissante pour 0 < q < 1. En effet, v(n + 1) − v(n) = v(n)(q − 1), dont le signe est celui de q − 1 puisque v(n) est positif.

Pour identifier un modèle, calcule d’abord des différences puis, si les termes sont non nuls, des quotients. Les nombres 100, 120, 144 présentent des quotients égaux à 1,2 et des différences 20 puis 24. Ils sont compatibles avec un modèle géométrique, pas arithmétique. Pour prouver la nature d’une suite définie par une formule, utilise cette formule : une collection finie de valeurs ne prouve pas une règle à tous les rangs futurs.

Un problème de seuil demande le premier rang où une condition devient vraie. Il faut lire précisément « dépasse », « atteint au moins » ou « devient inférieur ». Dépasser 1 000 impose une inégalité stricte ; atteindre au moins 1 000 accepte l’égalité. On utilise le terme général lorsqu’une résolution simple est disponible, ou on calcule les termes successifs avec un tableur ou une boucle. Le rang obtenu doit être entier et le rang précédent doit échouer au test.

Pour une suite arithmétique croissante, l’inéquation portant sur le terme général se résout souvent directement. Si u(n) = 250 + 35n, chercher u(n) ≥ 500 donne n ≥ 250/35, soit environ 7,14. Le plus petit rang entier est huit. Le contrôle confirme u(7) = 495 < 500 et u(8) = 530 ≥ 500. Arrondir 7,14 à l’entier le plus proche donnerait sept et manquerait le seuil : il faut chercher le premier entier qui satisfait réellement la condition.

En Python, on peut initialiser n = 0 et valeur = 500, puis répéter tant que valeur <= 700 : multiplier valeur par 1.08 et augmenter n de un. Le test accepte l’égalité pour continuer, puisque l’arrêt recherché exige un dépassement strict. La condition est examinée avant chaque passage. Pour ces données, la croissance avec une raison supérieure à un assure le franchissement d’un seuil fini. Une suite décroissante ne franchirait pas nécessairement le même seuil vers le haut.

Au tableur, place les rangs en colonne A et les termes en colonne B. Avec B2 = 500, la formule B3 = B2*1,08 reproduit la règle. Si le taux est en E1, une formule telle que =B2*(1+$E$1) conserve ce paramètre lors de la recopie, à condition que E1 contienne 8 %. Recherche ensuite le premier terme satisfaisant la condition. Le numéro de ligne doit être traduit en rang, car la ligne 2 correspond ici au rang zéro.

Une suite arithmétique convient à une variation absolue constante ; une suite géométrique positive convient à une variation relative constante. Ce sont des hypothèses précises. Un budget augmenté chaque année d’un montant fixe et un budget augmenté d’un pourcentage fixe peuvent coïncider au début puis diverger fortement. Pour comparer, impose le même rang de départ, la même unité et la même durée d’étape. Sinon une comparaison entre un taux mensuel et un supplément annuel serait trompeuse.

Ne choisis pas un modèle uniquement parce qu’un graphique est visuellement régulier. Les points d’une suite arithmétique sont alignés dans le repère rang-valeur ; ceux d’une suite géométrique de raison différente de un ne le sont généralement pas. Mais la fenêtre et l’échelle peuvent masquer une courbure faible. Le calcul des différences ou des quotients complète l’observation. Toute projection doit rester rattachée à la période et aux conditions pour lesquelles l’hypothèse a un sens.

Pour poursuivre, ouvre S’entraîner à l’adresse /exercices.