Modéliser plusieurs épreuves indépendantes

Une épreuve de Bernoulli distingue exactement deux résultats possibles, appelés succès et échec. Le mot succès est une convention : il peut désigner un défaut ou un retard si c’est ce que l’on veut compter. On note p la probabilité du succès ; celle de l’échec vaut 1 − p. Le paramètre p est compris entre 0 et 1.

Dans un modèle fictif de commandes en ligne, chaque visite se termine soit par un achat, soit sans achat. On appelle succès l’achat et on fixe p = 0,3. Une visite constitue une épreuve de Bernoulli. Les détails qui ne sont pas retenus par le modèle, comme le montant acheté, ne constituent pas ici des issues supplémentaires : seul l’événement achat est observé.

Répéter la même épreuve ne suffit pas pour garantir l’indépendance. Des visites du même client peuvent s’influencer, et une promotion peut modifier la probabilité d’achat. Dans la suite, nous supposons explicitement que les essais sont indépendants et que la probabilité p reste constante. Ce sont les hypothèses du modèle, pas des conséquences du mot « hasard ».

Indépendantes signifie que connaître le résultat des essais précédents ne change pas la probabilité du suivant. Identiques signifie que les deux issues et leurs probabilités restent les mêmes. Pour calculer les probabilités de séquences, il faut vérifier les deux propriétés. On travaillera avec deux, trois ou quatre essais, en énumérant les chemins d’un arbre.

Chaque chemin de l’arbre correspond à une séquence ordonnée. Pour deux essais, les quatre séquences sont succès-succès, succès-échec, échec-succès et échec-échec. Succès-échec et échec-succès comportent tous deux un succès, mais sont deux chemins différents. Une question sur un nombre de succès peut donc rassembler plusieurs chemins.

Les quatre chemins doivent totaliser 1 : 0,09 + 0,21 + 0,21 + 0,49 = 1. Ce contrôle vérifie que l’arbre couvre tous les résultats possibles sans oubli. Il ne faut pas supposer que les quatre séquences sont équiprobables : succès-succès a ici une probabilité de 0,09, alors qu’échec-échec a une probabilité de 0,49.

Avec trois essais, chaque premier résultat se prolonge par deux possibilités au deuxième essai, puis encore deux au troisième. Il y a donc 2 × 2 × 2 = 8 séquences. Avec quatre essais, il y en a 16. Pour éviter les oublis, on peut construire l’arbre niveau par niveau ou écrire les séquences dans un ordre systématique.

Pour quatre essais, exactement deux succès peuvent apparaître aux positions 1 et 2, 1 et 3, 1 et 4, 2 et 3, 2 et 4, ou 3 et 4. Il y a six possibilités. Chacune a pour probabilité 0,3² × 0,7² = 0,0441. Le total vaut donc 6 × 0,0441 = 0,2646. Ici, on compte les positions explicitement, sans utiliser une formule générale.

En classant les seize séquences selon leur nombre de succès, on obtient respectivement 1, 4, 6, 4 et 1 chemins pour zéro, un, deux, trois et quatre succès. Les probabilités correspondantes sont 0,2401 ; 0,4116 ; 0,2646 ; 0,0756 et 0,0081. Leur somme vaut 1. Le nombre de succès le plus probable est un, même si d’autres résultats restent possibles.

Les expressions « au moins un », « exactement un » et « au plus un » ne décrivent pas le même événement. Au moins un inclut tous les nombres de succès de 1 jusqu’au nombre d’essais. Exactement un exclut deux succès et davantage. Au plus un réunit zéro et un succès. Traduire ces expressions avant de calculer évite de nombreuses erreurs.

Le résultat dépend de l’indépendance. Si les quatre propositions concernent le même client et le même besoin, les décisions peuvent être liées. On ne peut alors pas multiplier quatre fois 0,7 sans justification. Le contexte doit permettre de choisir le modèle ; la qualité d’un calcul ne corrige pas une hypothèse inadéquate.

Pour simuler un essai de probabilité 0,3, on peut tirer un nombre uniforme entre 0 et 1. On compte un succès si ce nombre est strictement inférieur à 0,3. Pour simuler quatre essais indépendants, on utilise quatre nouveaux tirages. On additionne les succès de cette série puis on recommence avec de nouveaux nombres pour la série suivante.

Une simulation de mille séries de quatre essais a donné les effectifs suivants : 225 séries sans succès, 407 avec un succès, 271 avec deux succès, 91 avec trois succès et 6 avec quatre succès. La fréquence d’exactement deux succès vaut donc 271/1 000 = 0,271. La probabilité théorique calculée par l’arbre est 0,2646. Les deux valeurs sont proches, mais ne coïncident pas.

Cet écart est une fluctuation d’échantillonnage. Refaire la simulation avec d’autres nombres aléatoires peut donner d’autres fréquences. Une série courte peut même produire un résultat rare. Augmenter le nombre de répétitions favorise une meilleure stabilité des fréquences autour des probabilités, mais ne garantit pas qu’à chaque répétition supplémentaire l’écart diminue.

Pour vérifier un algorithme de simulation, observe ce qu’il réinitialise. Le compteur de succès doit revenir à zéro au début de chaque série de quatre essais. Le tableau des effectifs, lui, doit être conservé d’une série à l’autre. À la fin de mille séries, la somme de ses cinq cases doit être mille. Ce contrôle repère un compteur mal placé ou une répétition oubliée.

S’entraîner : retrouve les exercices de l’espace d’entraînement du site.