Utiliser les probabilités conditionnelles

Choisir une pièce au hasard parmi toute une production et choisir une pièce parmi celles d’une machine précise ne sont pas la même expérience. Une information peut réduire la population dans laquelle on raisonne. La probabilité conditionnelle de D sachant A, notée P_A(D), mesure la probabilité de D lorsque l’on sait déjà que A est réalisé. Elle n’est définie que si P(A) est strictement positive.

Dans une situation d’effectifs équiprobables, le dénominateur devient l’effectif du groupe A. Le numérateur compte les individus appartenant à la fois à A et à D. En notation générale, P_A(D) = P(A ∩ D)/P(A). Le symbole ∩ signifie « et » : les deux événements se réalisent ensemble. L’information placée en indice indique le groupe dans lequel on se place.

Un atelier fictif dispose de deux machines. On appelle A l’événement « la pièce provient de la première machine » et D l’événement « la pièce présente un défaut ». La seconde machine fournit toutes les autres pièces : son événement est donc non A. On suppose qu’une pièce est choisie au hasard dans toute la production, sans favoriser une pièce plutôt qu’une autre.

Un arbre organise les informations dans un ordre choisi. Le premier niveau sépare A et son contraire. Le second indique la présence ou l’absence de défaut dans chaque groupe. Les poids du second niveau sont des probabilités conditionnelles. Ils ne sont pas automatiquement égaux d’une branche à l’autre : les deux machines peuvent avoir des taux de défaut différents.

La somme des probabilités des branches qui partent d’un même nœud vaut 1. Ainsi, si P_A(D) = 0,02, alors P_A(non D) = 0,98. Cela ne donne pas P_non A(D) : cette dernière probabilité concerne un autre groupe. Une branche complémentaire et une branche d’un autre nœud ne doivent pas être confondues.

Pour calculer la probabilité d’un chemin complet, on multiplie ses poids. Le chemin A puis D correspond à l’intersection A ∩ D. Sa probabilité est P(A) × P_A(D). Cette règle vient de la définition de la probabilité conditionnelle ; elle ne suppose pas l’indépendance. L’arbre peut justement décrire une dépendance entre origine et défaut.

La formule utilisée est celle des probabilités totales : P(D) = P(A)P_A(D) + P(non A)P_non A(D). Les événements A et non A forment une partition : ils sont incompatibles et couvrent toutes les possibilités. Avec plus de groupes, on peut additionner les contributions de tous les groupes, à condition de ne laisser aucun cas de côté et de ne pas en compter deux fois.

On peut connaître les taux de défaut de chaque machine et vouloir, au contraire, retrouver l’origine probable d’une pièce défectueuse. Il faut alors inverser la population de référence. La probabilité P_A(D) parle des défauts parmi les pièces de A ; P_D(A) parle de l’origine A parmi les défauts. Ces deux proportions ne sont généralement pas égales.

L’arbre ne signifie donc pas que la première question doit toujours être posée avant la seconde dans le temps. Il est un outil de classement des probabilités. L’origine matérielle précède le défaut dans ce contexte, mais l’information dont dispose l’observateur peut être le défaut seulement. Le calcul conditionnel s’adapte à cette information disponible.

Pour éviter une formule mal appliquée, reformule toujours la question en français : « Parmi les pièces qui ont un défaut, quelle proportion vient de A ? » Le mot « parmi » identifie le dénominateur. Cette reformulation fonctionne aussi pour une enquête, un suivi de commandes ou un contrôle qualité, même lorsque l’énoncé ne présente pas explicitement un arbre.

Deux événements sont indépendants lorsque savoir que l’un est réalisé ne change pas la probabilité de l’autre. Si P(A) est non nulle, cela s’écrit P_A(D) = P(D). Une formulation équivalente est P(A ∩ D) = P(A)P(D). Cette dernière permet aussi de traiter les cas où une probabilité est nulle. L’indépendance doit être donnée comme hypothèse du modèle ou justifiée par les données disponibles.

Dans le modèle à 70 % et 30 %, P_A(D) vaut 0,02 alors que P(D) vaut 0,029. Les événements A et D ne sont donc pas indépendants. Connaître l’origine change la probabilité du défaut. Le fait que l’on choisisse la pièce « au hasard » ne rend pas automatiquement toutes ses caractéristiques indépendantes.

Garde les valeurs exactes pendant les calculs. Par exemple, 14/29 est plus précis que 0,48. Arrondir trop tôt peut fausser une égalité attendue ou un résultat final. Si l’énoncé demande un pourcentage au dixième, effectue la division complète, multiplie par 100 puis arrondis seulement à la fin.

Toute probabilité doit être comprise entre 0 et 1. Une probabilité d’intersection ne dépasse pas la probabilité de chacun des événements qui la composent. Ces vérifications ne prouvent pas que le raisonnement est juste, mais elles détectent de nombreuses erreurs. Une probabilité conditionnelle peut dépasser la probabilité globale du même événement : la population de référence a changé.

S’entraîner : poursuis dans l’espace d’exercices du site.