Ajuster une série à deux variables

Une série statistique à deux variables quantitatives rassemble des couples de nombres. Pour chaque observation, on connaît une valeur de x et une valeur de y. Dans une boutique fictive, x désigne une dépense publicitaire quotidienne en centaines d’euros et y le nombre de commandes reçues ce jour-là. On relève les couples (1 ; 12), (2 ; 15), (3 ; 17) et (4 ; 20). Chaque ligne correspond au même jour pour les deux variables.

Les couples doivent rester associés. Trier séparément les dépenses et les commandes détruirait le lien observé entre les deux séries. Si une donnée manque pour un jour, il faut signaler cette absence plutôt que lui attribuer zéro. Zéro commande est une observation précise ; une valeur inconnue est une absence d’information. Il faut aussi conserver les unités : une dépense x = 4 correspond ici à 400 €, pas à 4 €.

Le nuage de points représente chaque couple par un point de coordonnées (x ; y). L’axe horizontal porte les dépenses et l’axe vertical le nombre de commandes. On cherche une tendance globale, pas une courbe passant exactement par chaque point. Une direction montante suggère que les deux grandeurs augmentent ensemble dans les observations. Elle ne démontre pas que l’une provoque l’autre.

Le point moyen G a pour coordonnées la moyenne des x et la moyenne des y. Il résume la position centrale du nuage. Ce n’est pas nécessairement une observation réelle : une moyenne peut avoir une abscisse non observée et une ordonnée non entière. On peut parfaitement obtenir 16,5 commandes comme moyenne, même si chaque journée compte un nombre entier de commandes.

Un ajustement affine représente la tendance par une droite d’équation y = ax + b. Le nombre a est le coefficient directeur : quand x augmente d’une unité, la valeur prévue de y augmente de a unités. Le nombre b est l’ordonnée prévue pour x = 0. Cette dernière interprétation n’a un intérêt concret que si zéro appartient à une zone pertinente pour le modèle.

Plusieurs méthodes sont possibles. On peut tracer une droite au jugé, partager les observations en deux groupes pour relier leurs points moyens, ou utiliser une régression par moindres carrés. Ces méthodes n’aboutissent pas forcément à la même droite. Une calculatrice ou un tableur peut donner les coefficients de régression ; le choix du modèle et l’interprétation restent à ta charge.

La méthode des moindres carrés choisit la droite qui minimise la somme des carrés des écarts verticaux entre observations et valeurs prévues. Pour une observation (x ; y), l’écart est y − (ax + b). Le carré rend tous les écarts positifs et donne davantage de poids aux grands écarts. On ne demande pas ici de démontrer les formules théoriques de calcul des coefficients.

On peut comparer avec la méthode des deux groupes. Les deux premiers points ont pour point moyen (1,5 ; 13,5), les deux derniers (3,5 ; 18,5). La droite qui les relie a pour pente 2,5 et pour ordonnée à l’origine 9,75. Ses écarts sont −0,25 ; 0,25 ; −0,25 et 0,25, soit une somme des carrés de 0,25. La régression donne ici une somme plus petite.

Une interpolation estime une valeur entre les abscisses observées. Pour la boutique, une dépense de 350 € se situe entre 100 € et 400 €. Une extrapolation utilise le modèle au-delà de cet intervalle : prévoir les commandes pour 800 € en est une. Plus on s’éloigne des observations, plus la confiance dans la prolongation de la tendance doit être discutée.

Une droite peut prolonger indéfiniment une croissance, alors qu’un commerce a une capacité limitée et une clientèle finie. Les coûts, les stocks ou la demande peuvent changer. Un très bon ajustement sur une courte période ne démontre donc pas la validité de la même relation à long terme. Il ne faut pas confondre précision des calculs et fiabilité de la prévision.

Le nombre de commandes est entier, mais une prévision affine peut être décimale. Cela n’empêche pas son utilisation comme estimation moyenne. Un arrondi doit être annoncé, et le choix de l’arrondi dépend de la question. Pour une prévision de tendance, on peut dire « environ 19 ». Pour un seuil ou une contrainte, il faut examiner le sens de l’inégalité avant d’arrondir.

Un nuage allongé autour d’une droite rend un ajustement affine plausible. Un nuage courbe, très dispersé ou organisé en plusieurs groupes demande davantage de prudence. Une valeur isolée peut modifier fortement la droite. Avant de l’écarter, il faut vérifier si elle provient d’une erreur de saisie ou d’un événement réel. Supprimer une observation seulement parce qu’elle dérange la tendance fausserait l’analyse.

Une association entre deux variables n’établit pas un lien causal. Les dépenses publicitaires et les commandes peuvent augmenter ensemble pendant les fêtes, sous l’effet de la saison. Le relevé ne permet pas de séparer cet effet de celui de la publicité. Pour décider d’une campagne, il faudrait des informations complémentaires et une méthode d’étude adaptée ; le calcul de régression ne répond pas seul à cette question.

Pour saisir les données dans un tableur, consacre une colonne à x et une autre à y, une ligne par observation. Vérifie les moyennes et compare une valeur prédite par l’outil à un calcul manuel. Un logiciel qui échange les colonnes peut calculer une régression différente : ajuster y en fonction de x et ajuster x en fonction de y ne sont pas la même opération.

S’entraîner : poursuis avec les exercices de l’espace d’entraînement du site.