Étudier une fonction exponentielle

Une suite géométrique donne des valeurs à des dates espacées régulièrement : à la fin de chaque mois, par exemple. Une fonction exponentielle permet de prolonger le modèle entre ces dates. On fixe une base a strictement positive. Pour les entiers n, aⁿ est une puissance déjà connue. Pour des exposants réels, on admet un prolongement continu qui conserve les règles de multiplication. La fonction obtenue associe à tout réel x le nombre aˣ. La variable est dans l’exposant ; elle n’est pas la base.

La valeur a⁰ vaut 1 et la valeur a¹ vaut a. Pour un exposant négatif, a⁻ˣ = 1/aˣ. Par exemple, 2⁻³ = 1/8 = 0,125. Pour une demi-unité, a^(1/2) est la racine carrée positive de a. Ainsi, 4^(1/2) = 2. Ces relations ne constituent pas une simple interpolation par une droite : elles décrivent une évolution multiplicative qui reste cohérente lorsque l’on partage une durée.

Si f(t) = K × aᵗ, avec K > 0, alors f(0) = K. Pour une même durée h, le rapport f(t + h)/f(t) vaut aʰ : il ne dépend pas du point de départ t. C’est ce rapport constant sur des durées égales qui caractérise ici l’évolution exponentielle. La différence f(t + h) − f(t), elle, varie généralement avec t. Une croissance exponentielle peut être lente si la base est proche de 1 ; le mot exponentiel ne veut pas simplement dire rapide.

Le dessin montre des valeurs pour x négatif et positif, mais un contexte peut ne retenir que t ≥ 0. Un modèle de ventes défini à partir d’un lancement ne décrit pas automatiquement ce qui précédait. On distingue donc le domaine mathématique de la fonction, qui est ici l’ensemble des réels, et l’intervalle sur lequel l’hypothèse de gestion est jugée pertinente.

Pour a > 0 et des réels x et y, on utilise a^(x + y) = aˣ × aʸ et a^(x − y) = aˣ/aʸ. Pour un entier relatif n, a^(nx) = (aˣ)ⁿ. Les parenthèses indiquent exactement ce qui est élevé à la puissance. Ainsi, 3² × 3⁻¹ = 3¹ = 3 ; 3² + 3⁻¹ ne se simplifie pas de la même façon, car il s’agit d’une addition. Les règles portent sur les produits et les quotients de puissances de même base.

On peut construire des points intermédiaires sans tracer une droite. Entre les dates t₁ et t₂, la date médiane est (t₁ + t₂)/2. Pour un modèle positif K × aᵗ, sa valeur est √(f(t₁)f(t₂)). Dans l’exemple, √(100 × 121) = 110. Répéter ce procédé entre les nouveaux points affine une représentation de la courbe. Le milieu des abscisses est arithmétique, celui des ordonnées est géométrique : confondre les deux modifierait le modèle.

Si a > 1, la fonction x ↦ aˣ est strictement croissante sur les réels. Si 0 < a < 1, elle est strictement décroissante. Si a = 1, elle vaut toujours 1. Toutes ses valeurs restent strictement positives, même lorsque x est négatif. Le signe de x ne devient pas le signe de aˣ. Pour une base inférieure à 1, augmenter l’exposant multiplie de nouveau par un nombre inférieur à 1 et réduit la valeur.

Pour f(x) = K × aˣ, on tient aussi compte du signe de K. Multiplier par un nombre positif conserve l’ordre ; multiplier par un nombre négatif l’inverse. Ainsi, si K < 0 et a > 1, f est strictement décroissante et ses valeurs sont négatives. Si K < 0 et 0 < a < 1, f est strictement croissante, même si elle reste négative. Si K = 0 ou a = 1, la fonction est constante. Ces conclusions s’obtiennent sans calculer une dérivée.

Des évolutions successives se composent par multiplication. Si les coefficients de N périodes de même durée sont c₁, …, c_N, leur produit C donne le coefficient global. Le coefficient moyen équivalent est q = C^(1/N), positif. Son taux est q − 1. Il reproduit la même valeur finale, sans reproduire nécessairement les valeurs intermédiaires. Prendre la moyenne arithmétique des taux ne résout généralement pas cette question.

Pour convertir un taux annuel en taux mensuel équivalent, on résout q¹² = C annuel. Une hausse annuelle de 12 % donne donc q = 1,12^(1/12) ≈ 1,009489, soit environ 0,949 % par mois. Multiplier 1 % par douze donne une addition de taux, alors que douze hausses de 1 % donnent 1,01¹² ≈ 1,126825, soit environ 12,68 %. Le choix de l’unité de temps appartient au modèle et doit être indiqué dans chaque formule.

Dans un tableur, une colonne peut contenir les temps 0 ; 0,5 ; 1 ; 1,5 ; 2. Pour f(t) = 100 × 1,21ᵗ, la formule =100*1,21^A2 calcule l’image du temps placé en A2. Les parenthèses sont nécessaires si l’exposant est lui-même une expression. Contrôle d’abord f(0), puis f(1) : une erreur de saisie qui produit 121 à la date 0 révèle immédiatement un décalage de rang. Sur une calculatrice, la touche puissance s’utilise avec le même soin.

Le chapitre suivant introduit le logarithme décimal pour trouver l’exposant lorsque la valeur finale est connue. Ici, une lecture graphique ou une table permet déjà d’encadrer un antécédent. Une telle lecture est approchée : on annonce un intervalle ou une précision compatible avec les graduations, sans transformer la largeur d’un trait en résultat exact.