Utiliser le logarithme décimal

On connaît 10² = 100 et 10³ = 1 000. Pour obtenir 250, il faut un exposant situé entre 2 et 3. Le logarithme décimal de 250 est précisément cet exposant. Pour tout réel b strictement positif, log(b) est l’unique réel x tel que 10ˣ = b. Cette définition s’appuie sur la croissance de la fonction 10ˣ et sur le fait qu’elle prend toutes les valeurs strictement positives. Le logarithme répond à une question d’exposant, pas à une division par dix.

On a log(1) = 0, log(10) = 1, log(100) = 2 et log(0,01) = −2. Un logarithme négatif est donc possible : il correspond à un nombre compris strictement entre 0 et 1. En revanche, log(0) et log(−2) ne sont pas définis dans les réels. La condition porte sur le nombre placé à l’intérieur du logarithme, appelé argument ; elle ne dit pas que le résultat du logarithme doit être positif.

Les relations log(10ˣ) = x pour tout réel x et 10^(log(b)) = b pour b > 0 expriment le retour à la valeur de départ. La fonction log est strictement croissante sur les nombres strictement positifs : si 0 < a < b, alors log(a) < log(b). On peut ainsi comparer ou encadrer un logarithme sans calculer sa valeur décimale. Par exemple, 100 < 250 < 1 000 donne 2 < log(250) < 3.

Pour a > 0 et b > 0, log(ab) = log(a) + log(b). Pour comprendre cette propriété, écris a = 10ᵘ et b = 10ᵛ. Alors ab = 10^(u + v), et son logarithme est u + v. On en déduit log(a/b) = log(a) − log(b) et log(1/b) = −log(b). La positivité des deux arguments permet d’écrire séparément chacun des logarithmes.

Pour a > 0 et un entier naturel n, log(aⁿ) = n log(a). Cette propriété vient d’un produit de n facteurs identiques ; pour n = 0, les deux membres valent zéro. Elle s’étend aux exposants réels dans le cadre des puissances de base positive. C’est cette extension qui permet de résoudre une équation aˣ = b lorsque l’inconnue est une durée non entière. Il faut conserver les conditions a > 0 et b > 0.

Aucune règle analogue ne transforme une somme en somme de logarithmes. Un contre-exemple suffit : log(10 + 10) = log(20), tandis que log(10) + log(10) = 2 = log(100). Les nombres 20 et 100 étant différents, leurs logarithmes le sont aussi. À l’inverse, log(2) + log(5) = log(10) = 1 est une simplification exacte, même si les deux premiers logarithmes n’ont pas d’écriture décimale finie simple.

Pour résoudre aˣ = b avec a > 0, a ≠ 1 et b > 0, on prend le logarithme des deux côtés. On obtient x log(a) = log(b), puis x = log(b)/log(a). Le dénominateur est non nul car a ≠ 1. Si a = 1, il faut traiter directement l’équation 1 = b : tous les réels conviennent si b = 1, et aucun si b ≠ 1. Si b ≤ 0, aucune puissance réelle d’une base positive ne peut être égale à b.

Lorsque l’inconnue est dans la base, on raisonne différemment. Pour q³ = 1,331 avec q > 0, log(q) = log(1,331)/3, donc q = 10^(log(1,331)/3) = 1,1. On peut aussi écrire q = 1,331^(1/3). Si q représente un coefficient d’évolution, le taux correspondant est q − 1 = 0,1, soit 10 %. Il faut distinguer la recherche d’une durée, placée en exposant, de la recherche d’un taux, porté par la base.

Le prolongement continu V(t) = 50 000 × 1,08ᵗ atteint exactement le seuil après environ 18,01294 années. Cette durée répond à une autre question que le premier bilan annuel au-dessus du seuil. Une durée fractionnaire n’a de sens économique que si le modèle entre les dates est accepté. Si des intérêts ne sont crédités qu’à des échéances annuelles, on ne transforme pas automatiquement une solution réelle en date de paiement effective.

Prendre le logarithme de deux nombres positifs conserve l’ordre, car log est croissante. La difficulté vient ensuite d’une division éventuelle par un nombre négatif. Lorsque 0 < a < 1, log(a) < 0 : diviser par log(a) inverse le sens de l’inégalité. Cette inversion traduit le fait que aˣ décroît lorsque x augmente. Une vérification de deux valeurs voisines permet de repérer une erreur de sens.

Une équation ou une inéquation doit toujours être relue dans le domaine de l’inconnue. Pour x réel strictement positif, x² < 100 donne 0 < x < 10. Si x pouvait être négatif, prendre log(x) exclurait à tort une partie des solutions ; il faut alors un autre raisonnement. Dans une recherche de coefficient d’évolution, l’hypothèse x > 0 est naturelle, mais elle doit être écrite. Le calcul ne peut pas décider seul du domaine du problème.

Si 10ᵏ ≤ N < 10^(k + 1), alors k ≤ log(N) < k + 1. Pour un entier N ≥ 1, son écriture décimale comporte k + 1 chiffres. Ainsi, 10⁴ ≤ 37 000 < 10⁵ : ce nombre comporte cinq chiffres, et log(37 000) est compris entre 4 et 5. L’entier immédiatement inférieur ou égal à log(N), augmenté de 1, donne le nombre de chiffres. Aux puissances de dix, il faut faire attention aux erreurs d’arrondi de la calculatrice.

Une différence de logarithmes mesure un rapport : log(B) − log(A) = log(B/A) pour A et B positifs. Passer de 100 à 1 000 ajoute une unité logarithmique et multiplie la valeur par dix. Passer de 1 000 à 10 000 fait exactement la même chose. Cela explique l’intérêt d’une échelle logarithmique pour comparer des quantités de tailles très différentes, mais les distances n’y représentent plus des différences absolues constantes.