Étudier la fonction inverse

La fonction inverse associe à tout nombre réel non nul x le nombre f(x) = 1/x. Son ensemble de définition est constitué de deux intervalles séparés, ]−∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[. Il faut conserver cette séparation dans un tableau de variations : aucun trajet continu de la courbe ne passe de la branche négative à la branche positive. Un dénominateur nul ne produit pas une valeur très grande ; il rend le calcul impossible.

Prends quelques valeurs simples : f(1) = 1, f(2) = 0,5 et f(4) = 0,25. Du côté négatif, f(−1) = −1 et f(−2) = −0,5. Le signe de l’image est donc celui de x. Attention au vocabulaire : l’inverse de 4 est 1/4, tandis que son opposé est −4. L’inverse sert à obtenir un produit égal à 1, l’opposé une somme égale à 0.

Sur ce graphique, les graduations indiquent les coordonnées. Les segments verticaux et horizontaux qui portent les graduations bordent la fenêtre de lecture ; ils ne sont pas tous deux les axes passant par l’origine. La ligne pointillée horizontale repère y = 0. Pour lire une image, pars de l’abscisse et repère la hauteur de la courbe. Une lecture graphique donne généralement une approximation ; une formule fournit une valeur exacte lorsque le calcul le permet.

Quand x devient de plus en plus grand et positif, son inverse se rapproche de zéro tout en restant positif. Par exemple, les inverses de 10, 100 et 1 000 valent 0,1, 0,01 et 0,001. Quand x devient négatif avec une valeur absolue de plus en plus grande, 1/x se rapproche également de zéro, cette fois par valeurs négatives. Ces observations donnent le sens de l’asymptote horizontale y = 0.

Près de zéro, les comportements sont différents selon le côté. Si x prend les valeurs positives 0,1, 0,01 puis 0,001, son inverse vaut 10, 100 puis 1 000 : les valeurs augmentent sans borne. Pour les valeurs négatives correspondantes, les inverses valent −10, −100 puis −1 000 : ils diminuent sans borne. La droite x = 0 est l’asymptote verticale. On décrit ici une tendance, jamais une valeur de la fonction en zéro.

Une asymptote décrit le comportement d’une courbe près d’une borne de son domaine ou très loin dans le repère. Pour la fonction inverse, la courbe ne rencontre effectivement aucun des deux axes. Cependant, cette propriété particulière ne définit pas toutes les asymptotes : une autre courbe peut couper son asymptote horizontale à une distance finie, puis s’en rapprocher quand x augmente. Une tangente, elle, décrit localement la direction de la courbe près d’un point où la fonction est définie.

Pour x ≠ 0, la dérivée de f est f′(x) = −1/x². Le carré x² est strictement positif sur le domaine ; la dérivée est donc strictement négative. La fonction inverse est strictement décroissante sur chacun des deux intervalles ]−∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[. Cela ne signifie pas qu’elle est décroissante sur leur réunion : pour comparer des images à partir des variations, les abscisses doivent appartenir au même intervalle.

Le signe de f′ décrit le sens de variation de f, pas le signe de f. Sur l’intervalle positif, les images sont positives et diminuent. Sur l’intervalle négatif, les images sont négatives et diminuent aussi lorsque x augmente vers zéro. Ainsi, −2 < −1 et f(−2) = −0,5 > −1 = f(−1). Un petit tableau numérique permet de vérifier le sens de lecture avant de rédiger une conclusion.

Dans un atelier fictif, les dépenses de production suivent le modèle C(q) = 120 + 6q euros, pour une quantité entière q comprise entre 10 et 100 objets. Les 120 euros sont un coût fixe total. Les 6 euros sont un coût variable par objet. Le coût moyen est le coût total divisé par le nombre d’objets : M(q) = C(q)/q = 120/q + 6 euros par objet. L’étude d’une fonction continue sur [10 ; 100] aide à comprendre les valeurs entières réellement possibles.

Le terme 120/q diminue parce que la même dépense fixe se répartit sur davantage d’objets. Le terme 6 reste inchangé dans ce modèle. Si l’on prolonge mathématiquement la formule vers de grandes quantités, le coût moyen se rapproche de 6 euros par valeurs supérieures. Cette tendance ne garantit ni une production illimitée ni une baisse identique dans la réalité : capacités, embauches ou remises peuvent modifier les coûts. Sur le domaine réellement autorisé, le coût moyen minimal est atteint à la quantité maximale, pas à l’infini.

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