Modéliser les évolutions par les suites

Dans une organisation fictive, un budget peut augmenter de 20 euros chaque mois ou de 10 % chaque mois. Les deux phrases ne décrivent pas la même règle. La première ajoute une quantité fixe. La seconde applique un pourcentage à une valeur qui change. Pour modéliser une évolution, on choisit une unité de temps, on précise la grandeur suivie et on définit le rang initial. Une suite associe une valeur à chaque rang entier naturel n. Le terme u₀ est la valeur de départ ; u₁ vient après une évolution, u₂ après deux évolutions.

Une suite arithmétique vérifie uₙ₊₁ = uₙ + r, où r est la raison additive. Son terme général est uₙ = u₀ + nr. Entre les rangs p et n, il y a n − p étapes, donc uₙ = uₚ + (n − p)r. La suite est strictement croissante si r > 0, strictement décroissante si r < 0 et constante si r = 0. Une différence négative est parfaitement possible, mais un modèle de stock doit être limité avant de prédire une quantité négative.

Une suite géométrique à termes strictement positifs vérifie vₙ₊₁ = qvₙ, avec q > 0 et v₀ > 0. On obtient vₙ = v₀qⁿ. Si q > 1, elle est strictement croissante ; si 0 < q < 1, elle est strictement décroissante ; si q = 1, elle est constante. Une hausse de 10 % donne q = 1,10 ; une baisse de 10 % donne q = 0,90. Le cas initial nul donne une suite nulle, dont on ne peut pas calculer la raison en divisant deux termes.

Trois valeurs ne prouvent pas une règle pour tous les rangs futurs. Elles permettent seulement de vérifier si ces trois nombres peuvent être consécutifs dans un modèle. Pour 100, 120, 140, les deux différences valent 20 ; les deux quotients ne sont pas égaux. Pour 100, 110, 121, les deux quotients valent 1,1. La justification d’une prévision vient ensuite de l’hypothèse de stabilité du mécanisme, jamais de la seule apparence du graphique.

Pour additionner des termes consécutifs, commence par compter les termes. De u₀ à uₙ inclus, il y en a n + 1 ; de u₁ à uₙ inclus, il y en a n. Plus généralement, de uₚ à uₙ inclus, il y en a n − p + 1. La notation Σ rassemble une addition : Σ de k = 1 à 4 de k² signifie 1² + 2² + 3² + 4² = 30. La lettre k sert de compteur ; ce n’est pas une valeur supplémentaire à additionner.

La somme de N termes consécutifs d’une suite arithmétique vaut N × (premier terme + dernier terme) / 2. Pour comprendre la formule, écris la somme dans les deux sens : chaque paire donne la même somme des extrêmes. Ainsi, 10 + 15 + 20 + 25 et 25 + 20 + 15 + 10 donnent ensemble quatre fois 35. On divise par deux pour retrouver une seule somme. Cette démonstration explique pourquoi le nombre de termes compte autant que leurs valeurs.

Pour N termes géométriques de premier terme A et de raison q différente de 1, la somme vaut A × (1 − qᴺ) / (1 − q). La forme A × (qᴺ − 1) / (q − 1) est équivalente. En effet, si S = A + Aq + … + Aqᴺ⁻¹, soustraire qS à S élimine les termes intermédiaires : (1 − q)S = A − Aqᴺ. Si q = 1, on ne divise pas par zéro : les N termes sont tous égaux à A, donc S = NA.

Deux sommes d’argent versées à des dates différentes n’ont pas nécessairement produit les mêmes intérêts. Avant d’additionner leurs valeurs acquises, choisis une date commune. Dans les situations suivantes, les taux sont des hypothèses fictives de calcul, sans frais ni fiscalité. Ils ne décrivent pas un produit financier réel. Un versement effectué en fin d’année ne reçoit pas les intérêts de l’année qui vient de s’écouler.

Pour un remboursement avec intérêts, distingue capital restant dû, intérêts et échéance. Si Dₙ est la dette juste après la n-ième échéance, un modèle à taux périodique i et échéance constante R donne Dₙ₊₁ = (1 + i)Dₙ − R, tant que l’échéance prévue reste pertinente. Cette suite n’est généralement ni arithmétique ni géométrique. On peut la calculer ligne par ligne dans un tableur. Avec D₀ = 1 000, i = 0,01 et R = 300, on trouve 710 après la première échéance, puis 417,10 après la deuxième. La dernière échéance doit être adaptée si elle dépasse ce qui reste dû.

Entre deux nombres a et b, la moyenne arithmétique est (a + b) / 2. Elle est le terme central d’une suite arithmétique de trois termes a, m, b. Pour deux nombres strictement positifs, la moyenne géométrique est √(ab). Elle est le terme central positif d’une suite géométrique a, g, b : l’égalité g/a = b/g conduit à g² = ab. Ces moyennes répondent à deux questions différentes, additive et multiplicative.

Sur N périodes de même durée, si la valeur initiale V est strictement positive et la valeur finale W strictement positive, le coefficient moyen est (W/V)^(1/N). Le taux moyen est ce coefficient moins 1. Pour trouver le premier rang où une suite croissante dépasse un seuil, on peut dresser une table et contrôler les deux rangs voisins. Pour uₙ = 100 + 20n, atteindre au moins 190 demande n ≥ 4,5 ; le premier rang entier est 5. Le logarithme permettra ensuite de résoudre certains seuils géométriques sans une longue table.

Un tableur rend le raisonnement visible. Place les rangs 0, 1, 2 dans la première colonne ; mets le terme initial en B2, puis =B2+15 en B3 pour ajouter 15 à chaque étape. Pour une suite géométrique de raison 1,05, utilise =B2*1,05. Recopie vers le bas puis compare avec la formule explicite. Un accumulateur peut additionner les valeurs successives : on part de zéro, on ajoute chaque terme une fois et on arrête après le nombre prévu. La même méthode calcule une somme de carrés, même si la suite des carrés n’est ni arithmétique ni géométrique.