Ajuster et prévoir avec prudence

Une série statistique à deux variables quantitatives associe deux nombres à chaque observation. Pour chaque semaine d’une boutique fictive, on relève un budget publicitaire x, en centaines d’euros, et des ventes y, en dizaines d’articles. Un couple (x ; y) doit toujours réunir les deux valeurs de la même semaine. Trier séparément les colonnes détruirait ce lien et changerait le nuage de points.

Les cinq observations de cette situation fictive sont (1 ; 3), (2 ; 5), (3 ; 4), (4 ; 8) et (5 ; 10). Un point représente une semaine, pas une personne ni un article. Le nuage semble globalement monter lorsque le budget augmente, mais les points ne sont pas exactement alignés. D’autres facteurs, comme la saison ou le stock disponible, peuvent intervenir. La question est de résumer une tendance sans faire disparaître cette variabilité.

Une représentation correcte nomme les axes, indique les unités et conserve une échelle régulière sur chaque axe. La droite traverse parfois la zone située entre les points : elle ne remplace pas les observations. On ne relie pas automatiquement chaque point au suivant, surtout lorsque x n’est pas une date. Avant tout calcul, repère un éventuel point atypique ou une courbure qui rendrait une droite peu adaptée.

Un ajustement au jugé consiste à tracer une droite qui suit la tendance du nuage en équilibrant visuellement les écarts. La méthode des moindres carrés fournit un critère plus précis : parmi les droites, elle minimise la somme des carrés des écarts verticaux entre observations et estimations. On calcule pour chaque point le résidu yᵢ − (axᵢ + b), puis son carré, et enfin la somme de ces carrés. Les carrés empêchent les écarts positifs et négatifs de se compenser.

La calculatrice ou le tableur fournit généralement les coefficients de la régression affine. Pour la série de la boutique, ils sont a = 1,7 et b = 0,9. Le coefficient directeur indique qu’une augmentation d’une centaine d’euros de budget est associée, dans ce modèle, à une augmentation estimée de 1,7 dizaine d’articles. Il ne prouve pas qu’une dépense supplémentaire provoque automatiquement cette hausse. L’ordonnée à l’origine estime les ventes pour un budget nul, en dehors des budgets observés ici : son interprétation demande donc de la prudence.

Un tableur peut automatiser ce contrôle. Place les budgets dans A2 à A6 et les ventes dans B2 à B6. En C2, la formule =1,7*A2+0,9 calcule l’estimation avec une configuration française ; recopie-la jusqu’en C6. En D2, écris =(B2-C2)^2, puis recopie. La somme des cellules D2 à D6 doit donner 5,1. Selon les réglages du logiciel, le séparateur décimal peut être un point. Vérifie les valeurs numériques avant d’utiliser le résultat.

Une interpolation estime une valeur pour une abscisse comprise entre la plus petite et la plus grande abscisse observée. Une extrapolation utilise une abscisse située en dehors de cet intervalle. Cette distinction porte sur la variable x, pas sur la grandeur estimée y. Dans notre série, un budget de 3,5 centaines d’euros conduit à une interpolation ; un budget de 8 centaines d’euros conduit à une extrapolation.

Même une interpolation peut être mauvaise si les observations sont peu nombreuses, si un point atypique influence fortement la droite ou si les conditions changent. Une extrapolation éloignée ajoute une hypothèse plus forte : la relation resterait valable dans une zone encore non observée. Le magasin peut saturer, manquer de personnel ou rencontrer un autre public. Une prévision utile présente donc sa méthode, ses unités et ses limites.

Certaines relations sont courbes dans les variables initiales mais deviennent affines après une transformation. L’énoncé peut proposer u = 1/q, u = q² ou une transformation logarithmique. Il faut appliquer la même transformation à chaque observation, représenter les nouveaux couples puis revenir à la variable initiale pour interpréter. On ne transforme pas les nombres au hasard pour obtenir une belle droite.

Erreurs fréquentes : inverser les colonnes ; oublier les centaines d’euros ; additionner les résidus au lieu de leurs carrés ; arrondir trop tôt ; faire passer une extrapolation pour un fait. S’entraîner : retrouve le hub /exercices.