Calculer avec les arbres pondérés

Une probabilité conditionnelle décrit une proportion à l’intérieur d’un groupe donné. Dans une clientèle fictive, on choisit un client au hasard avec la même chance pour chacun. On note A l’événement « le client est un particulier » et L l’événement « il achète en ligne ». La probabilité P(L) concerne toute la clientèle ; P(L | A), également notée P_A(L), concerne seulement les particuliers.

La formule est P(L | A) = P(A ∩ L)/P(A), à condition que P(A) > 0. Le symbole ∩ signifie que les deux événements sont réalisés. Le numérateur décrit les clients qui sont à la fois particuliers et acheteurs en ligne ; le dénominateur réduit la référence à l’ensemble des particuliers. Si ce groupe a une probabilité nulle, ce quotient ne permet pas de définir la probabilité conditionnelle.

Les mots « parmi », « sachant que » ou « chez les » signalent souvent une condition. Ils ne décrivent pas nécessairement un ordre dans le temps. Être un particulier et acheter en ligne peuvent être deux caractéristiques observées simultanément. L’essentiel est le groupe dans lequel on se place. Inverser la condition change le dénominateur et peut donc changer complètement le résultat.

On complète la situation de la clientèle : 60 % des clients sont des particuliers ; les autres sont des professionnels. Parmi les particuliers, 30 % achètent en ligne ; parmi les professionnels, 80 % achètent en ligne. Ces proportions sont des données fictives. Le premier niveau de l’arbre distingue A et Aᶜ ; chaque deuxième niveau distingue L et Lᶜ à l’intérieur du groupe déjà atteint.

À chaque nœud, les probabilités des branches qui en partent totalisent 1. La branche de A vers L porte P(L | A) = 0,3 ; celle de Aᶜ vers L porte P(L | Aᶜ) = 0,8. Les deux branches vers L n’ont pas la même signification, car elles partent de groupes différents. On complète les branches contraires par soustraction à 1 : 0,7 pour Lᶜ sachant A et 0,2 pour Lᶜ sachant Aᶜ.

La probabilité d’un chemin complet est le produit des probabilités rencontrées. Ainsi P(A ∩ L) = P(A) × P(L | A). On peut le comprendre par les effectifs : prendre 30 % des 60 % de particuliers revient à prendre 0,3 × 0,6 = 0,18 de toute la clientèle. On multiplie les proportions successives parce que chaque étape sélectionne une part du groupe précédent.

Il serait faux d’additionner 0,6 et 0,3 sur ce chemin. Le problème n’est pas seulement qu’une somme pourrait dépasser 1 : ici elle donnerait 0,9, qui reste inférieur à 1 mais décrit mal la situation. Un contrôle de bornes repère certaines erreurs sans les repérer toutes. L’intersection doit notamment avoir une probabilité inférieure ou égale à celle de chacun des événements concernés.

L’achat en ligne peut survenir chez un particulier ou chez un professionnel. Ces deux possibilités ne se recouvrent pas et couvrent toute la clientèle de l’exemple. Les événements A et Aᶜ forment une partition. La formule des probabilités totales donne P(L) = P(A ∩ L) + P(Aᶜ ∩ L), donc P(L) = P(A)P(L | A) + P(Aᶜ)P(L | Aᶜ).

La formule se généralise à plusieurs groupes. Si A₁, A₂ et A₃ forment une partition et ont des probabilités non nulles, P(L) est la somme des trois produits P(Aᵢ)P(L | Aᵢ). Il faut inclure tous les groupes, sans compter deux fois une même personne. Des catégories qui se recouvrent, par exemple « client jeune » et « client étudiant », ne constituent pas automatiquement une partition.

Une nouvelle information peut imposer de lire la situation dans l’autre sens. Si l’on sait désormais que le client achète en ligne, la population de référence devient L. Il faut calculer P(A | L), et non recopier P(L | A). L’arbre initial reste utile pour obtenir le numérateur P(A ∩ L) et la probabilité totale P(L). Une division donne ensuite la proportion recherchée.

L’arbre inversé conserve les probabilités des intersections. Le chemin L puis A donne 0,5 × 0,36 = 0,18. Le chemin Lᶜ puis A donne 0,5 × 0,84 = 0,42. La somme retrouve P(A) = 0,60. Ce contrôle croisé montre que changer l’ordre de présentation ne change pas les clients étudiés ; seules les probabilités inscrites sur les branches conditionnelles changent.

S’entraîner : poursuis dans le hub /exercices du site.