Optimiser et interpréter une fonction

Optimiser signifie rechercher la meilleure valeur d’une grandeur selon un critère annoncé : bénéfice maximal, coût moyen minimal ou durée minimale. Les critères ne sont pas interchangeables. Une quantité qui maximise le chiffre d’affaires peut occasionner des coûts élevés et ne pas maximiser le bénéfice. La première étape consiste donc à nommer la grandeur étudiée et l’ensemble des décisions autorisées.

Dans une entreprise fictive, on peut représenter par x le nombre de centaines de produits fabriqués et par B(x) le bénéfice en centaines d’euros. Une valeur x = 2,5 signifie alors 250 produits ; elle n’est pas forcément interdite sous prétexte que x n’est pas entier. En revanche, si x compte directement des objets indivisibles, il faut retenir des valeurs entières. L’unité choisie décide de cette interprétation.

Un modèle peut être étudié sur un intervalle fermé, par exemple [0 ; 10], ou sur un intervalle qui exclut une borne. La restriction peut provenir d’une capacité de production, d’une quantité minimale de commande ou d’un dénominateur. On garde ces informations pendant toute l’étude. Une valeur obtenue par le calcul hors de cet intervalle ne constitue pas une décision possible.

Les règles utiles ici sont les suivantes : la dérivée d’une constante est zéro, celle de x est 1, celle de x² est 2x et celle de x³ est 3x². La dérivée de 1/x est −1/x² pour x non nul. On dérive une somme terme à terme et on conserve chaque coefficient multiplicatif. Par exemple, pour f(x) = 2x³ − 5x + 8/x, on obtient f′(x) = 6x² − 5 − 8/x².

Sur un intervalle où f est dérivable, une dérivée positive ou nulle indique que f est croissante ; une dérivée négative ou nulle indique qu’elle est décroissante. Si le signe passe du positif au négatif à une valeur intérieure, la fonction présente un maximum local. S’il passe du négatif au positif, il s’agit d’un minimum local. Pour conclure à un extremum sur tout l’intervalle, on considère l’ensemble du tableau de variations et les bornes.

La condition f′(a) = 0 repère un candidat, pas une conclusion suffisante. La fonction x³ a une dérivée nulle en zéro mais reste croissante : zéro n’est ni un maximum ni un minimum. À l’inverse, sur [1 ; 3], la fonction x² a son minimum à la borne 1 alors que sa dérivée y vaut 2. Rechercher uniquement les solutions de f′(x) = 0 ferait donc manquer des extrema.

Un atelier fictif produit x dizaines d’objets, avec x dans [0 ; 10]. Son bénéfice B(x), en centaines d’euros, est modélisé par B(x) = −2x² + 24x − 20. Le coefficient négatif de x² suggère une courbe qui finit par redescendre, mais l’étude de la dérivée fournit la justification. Le modèle autorise une étude continue ; la décision finale doit ensuite être exprimée en nombre d’objets.

Le coût moyen ne diminue pas toujours avec la quantité produite. Les frais fixes se répartissent sur davantage d’unités, mais d’autres dépenses peuvent augmenter : heures supplémentaires, pertes ou usage d’un équipement moins efficace. Un modèle simple peut donc additionner un terme décroissant en 1/x et un terme croissant en x. L’équilibre entre ces effets crée parfois un minimum.

La valeur optimale est une propriété du modèle et de son domaine. Si l’atelier ne peut fabriquer que de 2 à 5 lots, le point 6 devient inaccessible : la fonction décroît sur tout le nouvel intervalle et le meilleur choix est 5 lots. Si la capacité passe à 10 lots, il ne faut pas choisir automatiquement la plus grande quantité. Revenir aux contraintes évite de transformer un résultat mathématique en conseil universel.

Quand la variable compte des objets, l’optimum continu peut tomber entre deux entiers. Si les variations prouvent que la fonction monte puis descend autour de cet optimum, on compare les deux entiers voisins autorisés. On n’arrondit pas automatiquement à l’entier le plus proche : une fonction dissymétrique ne donne pas nécessairement le meilleur résultat par cet arrondi. Les variations justifient pourquoi les autres entiers peuvent être écartés.

S’entraîner : le hub /exercices permet de poursuivre le travail.