Reconnaître l’indépendance

Dans une population ou un modèle donné, deux événements A et B sont indépendants lorsque connaître la réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre. Pour P(A) > 0, on peut écrire P(B | A) = P(B). Si P(B) > 0, on a aussi P(A | B) = P(A). Ces égalités comparent une probabilité conditionnelle à la probabilité du même événement dans tout l’univers.

Le critère de calcul est P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Il se déduit de la formule P(A ∩ B) = P(A)P(B | A). Lorsque A et B sont indépendants, la probabilité conditionnelle peut être remplacée par P(B). Sans indépendance, ce remplacement n’est pas autorisé. Le produit de deux probabilités simples n’est donc pas une formule générale pour toutes les intersections.

Le critère par produit reste utilisable si un événement a une probabilité nulle : son intersection avec l’autre a aussi une probabilité nulle. En revanche, la conditionnelle sachant un événement de probabilité nulle n’est pas définie par un quotient. Dans les situations usuelles de cette leçon, les événements conditionnants ont une probabilité strictement positive.

Une enquête fictive porte sur 200 clients. Parmi eux, 120 utilisent le retrait en magasin, 80 reçoivent une lettre d’information et 48 cumulent les deux caractéristiques. On choisit uniformément un client de cette liste. A désigne le retrait et B la réception de la lettre. Les effectifs permettent ici de définir exactement les probabilités sur cette population finie.

Les autres effectifs se retrouvent sans inventer de données : 120 − 48 = 72 clients utilisent le retrait sans recevoir la lettre ; 80 − 48 = 32 reçoivent la lettre sans utiliser le retrait ; les 48 derniers ne font ni l’un ni l’autre. Parmi les 80 clients qui n’utilisent pas le retrait, 32 reçoivent la lettre, soit encore 0,4. L’arbre représente bien toutes les catégories.

Pour démontrer l’indépendance, il suffit d’une égalité exacte correctement justifiée, pas de vérifier tous les critères possibles. Pour montrer qu’elle est absente, une inégalité suffit. Les arrondis peuvent cependant créer une fausse égalité. Si deux probabilités deviennent toutes deux 0,2 après arrondi alors que leurs valeurs exactes diffèrent, cela ne démontre rien. Garde les fractions ou la précision nécessaire jusqu’à la comparaison finale.

Deux événements incompatibles ne se produisent jamais ensemble. Si leurs probabilités sont toutes deux strictement positives, leur intersection a une probabilité nulle alors que le produit de leurs probabilités est positif. Ils ne sont donc pas indépendants. Connaître l’un apporte au contraire une information décisive : l’autre est impossible.

Sur ce même dé, des événements peuvent au contraire être indépendants sans porter sur deux lancers différents. L’événement « nombre pair » a une probabilité 1/2 ; l’événement « multiple de 3 » a une probabilité 1/3. Leur intersection est le seul résultat 6, de probabilité 1/6, égale à (1/2) × (1/3). L’indépendance se vérifie par les probabilités, pas en comptant le nombre d’objets physiques utilisés.

Un événement et son contraire sont incompatibles. Si sa probabilité est strictement comprise entre 0 et 1, ils ne sont pas indépendants. De même, un événement A ne peut être indépendant de lui-même que si P(A) vaut 0 ou 1 : le critère demande P(A) = P(A)². Ces cas limites éclairent la définition, mais ne doivent pas faire oublier de vérifier les conditions des probabilités conditionnelles.

Une boîte contient trois jetons rouges et deux bleus. On effectue deux tirages au hasard. La phrase « au hasard » ne suffit pas à rendre les tirages indépendants : il faut connaître le protocole. Avec remise, puis mélange dans les mêmes conditions, la composition initiale est rétablie avant le deuxième tirage. Sans remise, elle dépend de la couleur déjà obtenue.

Dans une très grande population, un prélèvement de faible taille sans remise peut parfois être approché par un modèle indépendant. Il s’agit d’une approximation à annoncer, pas d’une identité mathématique. Aucune taille universelle ne suffit à elle seule : le rapport entre échantillon et population, ainsi que la précision attendue, comptent. Dans un exercice, applique l’hypothèse donnée et précise ce qu’elle simplifie.

Erreurs fréquentes : supposer l’indépendance pour la démontrer ; oublier la remise ; utiliser des probabilités arrondies ; confondre absence d’information probabiliste et absence de cause. S’entraîner : ouvre le hub /exercices.