Quelle est la différence entre nombre dérivé et fonction dérivée ?

Le nombre dérivé $f'(a)$ est la pente de la tangente en un point précis. La fonction dérivée $f'(x)$ donne le nombre dérivé pour tout $x$.

Comment savoir si une fonction est croissante ou décroissante ?

On étudie le signe de $f'(x)$ : si $f'(x)>0$, $f$ croît ; si $f'(x)<0$, $f$ décroît.

Qu'est-ce qu'un extremum local ?

C'est un maximum ou un minimum sur un intervalle. Il se produit quand $f'(x)$ change de signe.

À quoi sert la dérivation en STMG ?

Elle permet d'optimiser des fonctions économiques : maximiser un bénéfice, minimiser un coût, etc.

Première STMG maths

Dérivation et variations

Q: Qu'est-ce qu'un extremum local ?

C'est un maximum ou un minimum sur un intervalle. Il se produit quand $f'(x)$ change de signe.

Q: À quoi sert la dérivation en STMG ?

Elle permet d'optimiser des fonctions économiques : maximiser un bénéfice, minimiser un coût, etc.

Cours de maths STMG sur la dérivation : nombre dérivé, tangente, variations, extremums. Méthode pas à pas et exemples concrets en gestion.

La dérivation permet d'analyser comment une fonction évolue localement. En STMG, elle est utile pour étudier l'évolution d'un bénéfice, d'un coût ou d'une recette, et pour déterminer le niveau de production qui maximise le profit ou minimise le coût.

À retenir

Nombre dérivé : $f'(a)$ est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$ . Il mesure la variation instantanée.
Tangente : équation $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .
Dérivée : $f'(x)$ est la fonction qui donne le nombre dérivé pour tout $x$ .
Signe de la dérivée :
- Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle, alors $f$ est croissante.
- Si $f'(x) < 0$ sur un intervalle, alors $f$ est décroissante.
Extremum : si $f'$ change de signe en $x_0$ , alors $f$ admet un extremum local (maximum si $f'$ passe de + à -, minimum si $f'$ passe de - à +).

Méthode pas à pas

Calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction.
Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle donné.
Construire le tableau de variation de $f$ .
Repérer les extremums (maximum ou minimum) et leurs coordonnées.
Interpréter le résultat dans le contexte (ex : bénéfice maximal, coût minimal).

Exemple guidé

Une entreprise vend des objets. Le bénéfice (en milliers d'euros) pour $x$ centaines d'objets vendus est donné par $B(x) = -x^2 + 6x - 5$ pour $x \in [0;6]$ .

Étape 1 : Dérivée $B'(x) = -2x + 6$ .

Étape 2 : Signe On résout $B'(x) = 0$ : $-2x + 6 = 0 \Rightarrow x = 3$ . Pour $x < 3$ , $B'(x) > 0$ ; pour $x > 3$ , $B'(x) < 0$ .

Étape 3 : Tableau de variation

$x$	0	3	6
$B'(x)$	+	0	-
$B(x)$	-5	↗	4

Étape 4 : Maximum $B(3) = -9 + 18 - 5 = 4$ . Le maximum est 4 (milliers d'euros) pour $x=3$ (300 objets).

Interprétation : Le bénéfice maximal est de 4000 €, atteint pour 300 objets vendus.

Exercices types

Exercice 1 : Soit $f(x) = 2x^2 - 8x + 3$ sur $[0;5]$ . Déterminer les variations de $f$ .

Corrigé : $f'(x)=4x-8$ . $f'(x)=0 \Rightarrow x=2$ . Sur $[0;2[$ , $f'(x)<0$ donc $f$ décroît ; sur $]2;5]$ , $f'(x)>0$ donc $f$ croît. Minimum en $x=2$ : $f(2)=-5$ .

Exercice 2 : Le coût total (en €) pour produire $x$ unités est $C(x)=0.1x^2+5x+100$ . Calculer le coût marginal $C'(x)$ et interpréter $C'(10)$ .

Corrigé : $C'(x)=0.2x+5$ . $C'(10)=0.2\times10+5=7$ . Pour 10 unités, le coût de production d'une unité supplémentaire est d'environ 7 €.

Exercice 3 : La recette $R(x)=50x$ et le coût $C(x)=0.1x^2+5x+100$ . Déterminer le bénéfice $B(x)=R(x)-C(x)$ et son maximum.

Corrigé : $B(x)= -0.1x^2+45x-100$ . $B'(x)=-0.2x+45$ . $B'(x)=0 \Rightarrow x=225$ . $B(225)= -0.1\times225^2+45\times225-100 = -5062.5+10125-100=4962.5$ . Maximum 4962.5 € pour 225 unités.

Exercice 4 : Compléter le tableau de variation : $f'(x)=3(x-1)(x-3)$ sur $\mathbb{R}$ .

Corrigé : $f'(x)=0$ en $x=1$ et $x=3$ . Signe : $+$ sur $]-\infty;1[$ , $-$ sur $]1;3[$ , $+$ sur $]3;+\infty[$ . Donc $f$ croît, décroît, croît. Maximum en $x=1$ , minimum en $x=3$ .

Pièges fréquents

Confondre $f$ et $f'$ : Ne pas lire $f(x)$ quand on a $f'(x)$ .
Croire que $f'(x)>0$ implique $f(x)>0$ : La dérivée positive indique une croissance, pas une valeur positive.
Oublier l'intervalle d'étude : Les variations ne sont valables que sur l'intervalle considéré.
Mal interpréter un extremum : Un maximum local n'est pas forcément global ; préciser le contexte.
Négliger les unités : En gestion, toujours interpréter avec les unités (€, quantité, etc.).

Questions fréquentes

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