Quelle est la différence entre moyenne et médiane ?

La moyenne est la somme des valeurs divisée par l'effectif ; elle est sensible aux valeurs extrêmes. La médiane est la valeur centrale qui partage la série en deux ; elle n'est pas influencée par les extrêmes.

Comment interpréter un écart-type élevé ?

Un écart-type élevé indique que les données sont très dispersées autour de la moyenne, donc une grande variabilité.

Quand utiliser l'écart interquartile plutôt que l'écart-type ?

L'écart interquartile est plus robuste aux valeurs extrêmes ; on l'utilise quand la série contient des outliers ou n'est pas symétrique.

Première STMG maths

Statistiques en première STMG

Cours de statistiques pour première STMG : définitions, formules, méthode pas à pas, exemple guidé et exercices corrigés. Adapté au programme de gestion.

Les statistiques sont partout dans la gestion : suivi des ventes, analyse des salaires, enquêtes clients, etc. Elles permettent de résumer une série de données pour prendre des décisions éclairées. Dans ce cours, vous apprendrez à calculer et interpréter les principaux indicateurs : moyenne, médiane, quartiles et écart-type.

À retenir

Moyenne : $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$ (moyenne simple) ou $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} n_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} n_i}$ (moyenne pondérée).
Médiane : valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif. Si $n$ est impair, c'est la valeur centrale ; si pair, la moyenne des deux valeurs centrales.
Quartiles : $Q_1$ (25% des données inférieures), $Q_3$ (75% inférieures). L'écart interquartile $Q_3 - Q_1$ mesure la dispersion.
Écart-type : $\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}}$ (population) ou $s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$ (échantillon). Il mesure la dispersion autour de la moyenne.

Méthode pas à pas

Ranger les données dans l'ordre croissant.
Choisir l'indicateur : moyenne pour un niveau global, médiane si des valeurs extrêmes faussent la moyenne, quartiles pour la dispersion, écart-type pour comparer la variabilité.
Calculer : appliquer la formule avec soin, vérifier les effectifs.
Comparer : deux séries peuvent avoir la même moyenne mais des dispersions différentes.
Interpréter : rédiger une phrase claire (ex. "Les ventes sont en moyenne de 150 € par jour, mais avec une forte variabilité.").

Exemple guidé

Situation : Une entreprise relève les ventes journalières (en €) sur 10 jours : 120, 150, 130, 200, 110, 180, 140, 160, 190, 170. Calculez la moyenne, la médiane, les quartiles et l'écart-type.

Étape 1 : Ranger les données : 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180, 190, 200.

Étape 2 : Moyenne : $\bar{x} = \frac{110+120+130+140+150+160+170+180+190+200}{10} = \frac{1550}{10} = 155$ €.

Étape 3 : Médiane : $n=10$ pair, médiane = moyenne des 5e et 6e valeurs = $\frac{150+160}{2} = 155$ €.

Étape 4 : Quartiles : $Q_1$ = médiane des 5 premières valeurs (110,120,130,140,150) = 130 €. $Q_3$ = médiane des 5 dernières (160,170,180,190,200) = 180 €. Écart interquartile = 50 €.

Étape 5 : Écart-type (population) : $\sigma = \sqrt{\frac{(110-155)^2 + ... + (200-155)^2}{10}} = \sqrt{\frac{8250}{10}} = \sqrt{825} \approx 28,72$ €.

Interprétation : Les ventes moyennes sont de 155 € par jour, avec une médiane identique, ce qui indique une symétrie. L'écart-type de 28,72 € montre une dispersion modérée autour de la moyenne.

Exercices types

Exercice 1 : Les salaires (en €) dans une PME sont : 1800, 2000, 2200, 2500, 3000, 3500, 4000. Calculez la moyenne et la médiane.

Corrigé : Moyenne = $\frac{1800+2000+2200+2500+3000+3500+4000}{7} = \frac{19000}{7} \approx 2714,29$ €. Médiane : 7 valeurs, la 4e est 2500 €.

Exercice 2 : Une enquête donne les notes de satisfaction (sur 10) : 5,6,7,8,9,9,10,10,10. Calculez $Q_1$ et $Q_3$ .

Corrigé : 9 valeurs ordonnées. $Q_1$ = 3e valeur = 7. $Q_3$ = 7e valeur = 10.

Exercice 3 : Deux séries de ventes : Série A : 100, 110, 120, 130, 140 (moyenne 120, écart-type 15,81). Série B : 80, 100, 120, 140, 160 (moyenne 120, écart-type 31,62). Que dire de la dispersion ?

Corrigé : Même moyenne, mais l'écart-type de B est double, donc les ventes sont plus dispersées.

Exercice 4 : Un magasin a des ventes (en €) : 200, 250, 300, 350, 400, 450, 500. Calculez l'écart-type (population).

Corrigé : Moyenne = 350. $\sigma = \sqrt{\frac{(200-350)^2+...+(500-350)^2}{7}} = \sqrt{\frac{175000}{7}} = \sqrt{25000} \approx 158,11$ €.

Pièges fréquents

Utiliser la moyenne quand la médiane est plus pertinente : si des valeurs extrêmes (ex. un très gros salaire) faussent la moyenne, préférez la médiane.
Oublier les effectifs dans une moyenne pondérée : ne pas additionner les valeurs sans tenir compte de leur poids.
Comparer des séries sans unité commune : vérifiez que les unités sont les mêmes (ex. € vs k€).
Confondre dispersion et niveau moyen : deux séries peuvent avoir la même moyenne mais des dispersions très différentes.
Calculer l'écart-type sur un échantillon sans utiliser $n-1$ : si les données sont un échantillon, utilisez $s$ (diviseur $n-1$ ).

Questions fréquentes

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