Première STMG maths

Probabilités en première STMG

Cours de probabilités pour première STMG : définitions, méthodes, exercices corrigés et pièges à éviter. Ancré dans la gestion.

Les probabilités sont partout dans la vie d'un gestionnaire : évaluer les risques, analyser des enquêtes clients, prévoir des ventes ou contrôler la qualité. Ce chapitre vous donne les outils pour quantifier le hasard et prendre des décisions éclairées.

À retenir

  • Expérience aléatoire : situation dont le résultat n'est pas prévisible avec certitude (ex : lancer un dé, interroger un client).
  • Événement : ensemble de résultats possibles. On note AA, BB, etc.
  • Probabilité : nombre entre 0 et 1 qui mesure la chance qu'un événement se produise. P(A)=nombre de cas favorablesnombre de cas possiblesP(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}} (si équiprobabilité).
  • Fréquence : pour une série d'expériences, f=effectifeffectif totalf = \frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}. Quand le nombre d'expériences est grand, la fréquence se rapproche de la probabilité (loi des grands nombres).
  • Arbre de probabilités : outil pour visualiser des expériences à plusieurs étapes. Chaque branche porte une probabilité.
  • Événement contraire : noté A‾\overline{A}, P(A‾)=1−P(A)P(\overline{A}) = 1 - P(A).
  • Union et intersection : P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).

Méthode pas à pas

  1. Identifier l'expérience aléatoire et les issues possibles.
  2. Lister les événements demandés.
  3. Traduire les données en probabilités (pourcentages → nombres décimaux).
  4. Construire un arbre si plusieurs étapes.
  5. Appliquer les formules : probabilité totale, contraire, union.
  6. Interpréter le résultat en une phrase concrète.

Exemple guidé

Situation : Un magasin a 200 clients. 120 sont des femmes, dont 80 ont acheté un article. Parmi les hommes, 30 ont acheté. On choisit un client au hasard.

Questions :

  1. Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?
  2. Quelle est la probabilité qu'il ait acheté ?
  3. Quelle est la probabilité que ce soit une femme et qu'elle ait acheté ?
  4. Quelle est la probabilité que ce soit une femme ou qu'il ait acheté ?

Corrigé :

  • Total femmes : 120, donc P(femme)=120200=0,6P(\text{femme}) = \frac{120}{200} = 0,6.
  • Total acheteurs : 80 + 30 = 110, donc P(achat)=110200=0,55P(\text{achat}) = \frac{110}{200} = 0,55.
  • Femmes ayant acheté : 80, donc P(femme∩achat)=80200=0,4P(\text{femme} \cap \text{achat}) = \frac{80}{200} = 0,4.
  • P(femme∪achat)=0,6+0,55−0,4=0,75P(\text{femme} \cup \text{achat}) = 0,6 + 0,55 - 0,4 = 0,75.

Interprétation : Il y a 75 % de chances que le client soit une femme ou ait acheté (ou les deux).

Exercices types

  1. Conversion : 45 % des clients sont satisfaits. Donner la probabilité qu'un client soit satisfait. Corrigé : P=0,45P = 0,45.

  2. Arbre : Dans une usine, 70 % des pièces viennent de la machine A (défaut 2 %) et 30 % de la machine B (défaut 5 %). Construire l'arbre et calculer la probabilité qu'une pièce soit défectueuse. Corrigé : P(D)=0,7×0,02+0,3×0,05=0,014+0,015=0,029P(D) = 0,7 \times 0,02 + 0,3 \times 0,05 = 0,014 + 0,015 = 0,029.

  3. Événement contraire : La probabilité qu'un client commande est 0,35. Quelle est la probabilité qu'il ne commande pas ? Corrigé : P(C‾)=1−0,35=0,65P(\overline{C}) = 1 - 0,35 = 0,65.

  4. Interprétation : Un sondage donne P(acheter)=0,72P(\text{acheter}) = 0,72. Que signifie ce nombre ? Corrigé : Sur 100 clients, on s'attend à ce que 72 achètent.

Pièges fréquents

  • Probabilité > 1 : Une probabilité ne peut pas dépasser 1. Exemple : "120 % de chance" est impossible.
  • Pourcentage non converti : 60 % = 0,6, pas 60. Toujours diviser par 100.
  • Addition sans vérifier l'incompatibilité : P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) seulement si AA et BB sont incompatibles (disjoints). Sinon, utiliser la formule complète.
  • Oublier l'événement contraire : Parfois plus simple de calculer 1−P(A‾)1 - P(\overline{A}).
  • Confondre fréquence et probabilité : La fréquence observée n'est qu'une estimation ; la probabilité est théorique.

Questions fréquentes

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