Qu'est-ce qu'un ajustement affine ?

C'est une méthode qui consiste à trouver une droite (y = ax + b) qui résume la tendance d'un nuage de points. On l'utilise pour faire des prévisions.

Comment interpréter le coefficient de corrélation r ?

r mesure la force et le sens de la relation linéaire. Plus |r| est proche de 1, meilleur est l'ajustement. Si r > 0, la relation est positive ; si r < 0, elle est négative.

Peut-on toujours faire une prévision avec une droite d'ajustement ?

Non, seulement si le nuage de points a une tendance linéaire et que le coefficient de corrélation est suffisamment élevé (généralement |r| > 0,8). De plus, il faut éviter d'extrapoler trop loin.

Quelle est la différence entre interpolation et extrapolation ?

L'interpolation consiste à prévoir pour une valeur de x située à l'intérieur de l'intervalle des données observées ; l'extrapolation pour une valeur en dehors. L'extrapolation est moins fiable.

Terminale STMG maths

Ajustement statistique et prévisions

Q: Peut-on toujours faire une prévision avec une droite d'ajustement ?

Non, seulement si le nuage de points a une tendance linéaire et que le coefficient de corrélation est suffisamment élevé (généralement |r| > 0,8). De plus, il faut éviter d'extrapoler trop loin.

Cours complet sur l'ajustement statistique et les prévisions pour Terminale STMG : nuage de points, droite d'ajustement, corrélation, méthode pas à pas, exemple

L’ajustement statistique permet de modéliser une relation entre deux variables pour faire des prévisions. En STMG, vous l’utiliserez par exemple pour estimer des ventes futures à partir du budget publicitaire, ou prévoir le nombre de clients en fonction des heures d’ouverture. C’est un outil concret d’aide à la décision.

À retenir

Nuage de points : représentation graphique de couples de données $(x_i;y_i)$ . Chaque point correspond à une observation.
Ajustement affine : on cherche une droite d’équation $y = ax + b$ qui résume la tendance du nuage.
Méthode des moindres carrés : la droite d’ajustement (droite de régression) minimise la somme des carrés des écarts entre les points et la droite.
Coefficient de corrélation linéaire $r$ : mesure la force et le sens de la relation linéaire. $r$ est compris entre $-1$ et $1$ . Plus $|r|$ est proche de 1, meilleur est l’ajustement.
Prévision : on utilise l’équation de la droite pour estimer $y$ pour une valeur donnée de $x$ . Attention, une prévision n’est jamais certaine, surtout si on extrapole loin des données.

Méthode pas à pas

Représenter le nuage de points : placer les couples $(x_i;y_i)$ dans un repère.
Observer la tendance : les points sont-ils alignés approximativement ? Si oui, un ajustement affine est pertinent.
Déterminer l’équation de la droite d’ajustement : utiliser la calculatrice ou un logiciel pour obtenir $y = ax + b$ (ou les formules : $a = \frac{cov(x,y)}{V(x)}$ , $b = \bar{y} - a\bar{x}$ ).
Calculer le coefficient de corrélation $r$ : vérifier que $|r|$ est suffisamment proche de 1 (en général $|r| > 0,8$ pour un ajustement acceptable).
Faire une prévision : remplacer $x$ par la valeur souhaitée dans l’équation.
Conclure avec prudence : indiquer que la prévision est une estimation, pas une certitude.

Exemple guidé

Un gérant de magasin étudie le lien entre le budget publicitaire (en milliers d’euros) et le chiffre d’affaires (en milliers d’euros) sur 5 mois :

Budget $x$	CA $y$
2	10
3	12
5	15
6	18
8	20

Nuage de points : les points semblent alignés.
Calculs :
- Moyennes : $\bar{x} = 4,8$ , $\bar{y} = 15$ .
- Covariance : $cov(x,y) = \frac{1}{5}\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = 6,8$ .
- Variance de $x$ : $V(x) = \frac{1}{5}\sum (x_i-\bar{x})^2 = 4,56$ .
- Pente : $a = \frac{6,8}{4,56} \approx 1,49$ .
- Ordonnée à l’origine : $b = 15 - 1,49 \times 4,8 \approx 7,85$ .
- Équation : $y = 1,49x + 7,85$ .
Coefficient de corrélation : $r \approx 0,98$ (très proche de 1, ajustement excellent).
Prévision : pour un budget de 7 milliers d’euros, $y = 1,49 \times 7 + 7,85 \approx 18,28$ milliers d’euros.
Interprétation : avec un budget de 7000 €, le CA prévu est d’environ 18 280 €. Cette prévision est fiable car $r$ est élevé, mais attention à ne pas extrapoler au-delà de l’intervalle des données.

Exercices types

Exercice 1 : Un nuage de points a pour équation de droite $y = 3x + 2$ . Quel est le $y$ prévu pour $x = 4$ ?

Corrigé : $y = 3 \times 4 + 2 = 14$ .

Exercice 2 : Le coefficient de corrélation entre deux variables est $r = -0,9$ . Que peut-on dire de l’ajustement ?

Corrigé : $|r| = 0,9$ proche de 1, donc ajustement linéaire fort, mais négatif : quand $x$ augmente, $y$ diminue.

Exercice 3 : On a $\bar{x}=10$ , $\bar{y}=50$ , $a=2$ . Calculer $b$ .

Corrigé : $b = \bar{y} - a\bar{x} = 50 - 2 \times 10 = 30$ .

Exercice 4 : Pour un budget de 12 (en dehors des données), la prévision donne $y=40$ . Pourquoi faut-il être prudent ?

Corrigé : L’extrapolation suppose que la tendance linéaire se prolonge, ce qui n’est pas garanti. La prévision est moins fiable.

Pièges fréquents

Confondre corrélation et causalité : même si $r$ est élevé, rien ne prouve que $x$ cause $y$ . Il peut y avoir un facteur caché.
Extrapoler sans précaution : prévoir pour des $x$ très éloignés des données observées est risqué.
Oublier les unités : les prévisions doivent être exprimées dans la même unité que $y$ .
Forcer un ajustement affine : si le nuage est en forme de courbe ou très dispersé, un ajustement affine n’est pas pertinent.
Négliger le coefficient de corrélation : même si la droite semble correcte, vérifiez $r$ pour confirmer la qualité de l’ajustement.

Questions fréquentes

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