Comment reconnaître une suite arithmétique ou géométrique ?

Si on ajoute toujours le même nombre, c'est arithmétique ; si on multiplie toujours par le même nombre, c'est géométrique.

Quelle est la formule du terme général d'une suite arithmétique ?

$u_n = u_0 + n \times r$ où $r$ est la raison.

Comment modéliser une augmentation de 5% par an ?

On utilise une suite géométrique de raison $q = 1 + \frac{5}{100} = 1,05$.

Que faire si on connaît $u_5$ et $u_8$ d'une suite arithmétique ?

On peut calculer la raison : $r = \frac{u_8 - u_5}{3}$.

Terminale STMG maths

Suites arithmétiques et géométriques

Cours complet sur les suites arithmétiques et géométriques pour la terminale STMG : définitions, formules, méthode pas à pas, exemples en gestion et exercices c

Les suites arithmétiques et géométriques sont des outils mathématiques qui permettent de modéliser des évolutions régulières dans le temps. En STMG, elles sont très utiles pour analyser des situations de gestion : évolution du chiffre d'affaires, calcul d'intérêts, prévisions de ventes, ou encore suivi de stocks.

Ce qu'il faut savoir

Suite arithmétique : on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, appelé raison $r$ .
- Formule de récurrence : $u_{n+1} = u_n + r$ .
- Terme général : $u_n = u_0 + n \times r$ (ou $u_n = u_p + (n-p) \times r$ ).
- Exemple : $u_0 = 100$ , $r = 5$ donne $u_1 = 105$ , $u_2 = 110$ , $u_3 = 115$ , etc.
Suite géométrique : on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre, appelé raison $q$ .
- Formule de récurrence : $u_{n+1} = u_n \times q$ .
- Terme général : $u_n = u_0 \times q^n$ (ou $u_n = u_p \times q^{n-p}$ ).
- Exemple : $u_0 = 100$ , $q = 1,05$ donne $u_1 = 105$ , $u_2 = 110,25$ , $u_3 = 115,7625$ , etc.
Évolution en pourcentage : une augmentation de $t\%$ correspond à une multiplication par $1 + \frac{t}{100}$ ; une diminution de $t\%$ correspond à une multiplication par $1 - \frac{t}{100}$ .

Méthode pas à pas

Identifier le type de suite : si on ajoute une constante, c'est arithmétique ; si on multiplie par une constante, c'est géométrique.
Déterminer la raison : soustraire deux termes consécutifs pour $r$ , ou diviser pour $q$ .
Choisir la formule adaptée : utiliser le terme général ou la récurrence selon ce qui est demandé.
Calculer : appliquer la formule avec les valeurs numériques.
Interpréter : donner le résultat dans le contexte (par exemple, "le chiffre d'affaires en 2025 sera de 12 500 €").

Exemple guidé

Une entreprise a réalisé un chiffre d'affaires de 50 000 € en 2020. Elle prévoit une augmentation de 4% par an.

Type de suite : géométrique, car on multiplie chaque année par $1 + \frac{4}{100} = 1,04$ .
Terme initial : $u_0 = 50 000$ (année 2020).
Raison : $q = 1,04$ .
Question : Quel sera le chiffre d'affaires en 2025 ? (5 ans après 2020, donc $n=5$ )
Calcul : $u_5 = 50 000 \times 1,04^5$ $u_{5} = 50000 \times 1, 0 4^{5}$ .
- $1,04^2 = 1,0816$ ; $1,04^4 = (1,0816)^2 = 1,16985856$ ; $1,04^5 = 1,16985856 \times 1,04 = 1,2166529024$ .
- $u_5 = 50 000 \times 1,2166529024 = 60 832,64512$ .
Résultat : Le chiffre d'affaires prévu en 2025 est d'environ 60 833 €.

Exercices types

Reconnaître une suite :
- $u_0 = 200$ , $u_1 = 220$ , $u_2 = 240$ : arithmétique, $r = 20$ .
- $v_0 = 200$ , $v_1 = 220$ , $v_2 = 242$ : géométrique, $q = 1,1$ .
Calculer un terme : Une suite arithmétique a pour premier terme $u_0 = 150$ et raison $r = 12$ . Calculer $u_4$ .
- $u_4 = 150 + 4 \times 12 = 150 + 48 = 198$ .
Modéliser une hausse : Le nombre de clients d'un magasin augmente de 3% par mois. En janvier, il y a 1 000 clients. Modéliser par une suite géométrique et calculer le nombre de clients en juin (5 mois après).
- $q = 1,03$ , $u_0 = 1000$ , $u_5 = 1000 \times 1,03^5 \approx 1000 \times 1,159274 = 1159,274$ soit environ 1 159 clients.
Comparer deux évolutions : Un placement A rapporte 50 € par an (arithmétique), un placement B rapporte 2% par an (géométrique). Pour un capital initial de 1 000 €, comparer après 10 ans.
- Placement A : $u_{10} = 1000 + 10 \times 50 = 1500$ €.
- Placement B : $v_{10} = 1000 \times 1,02^{10} \approx 1000 \times 1,218994 = 1218,99$ €.
- Le placement A donne un capital plus élevé après 10 ans.

Pièges fréquents

Confondre augmentation en valeur et en pourcentage : une augmentation de 8% correspond à multiplier par 1,08, pas à ajouter 8.
Oublier le rang : si $u_0$ est le terme initial, $u_n$ correspond à $n$ étapes après, pas $n$ années si le début est décalé.
Utiliser la mauvaise formule : pour une suite géométrique, ne pas utiliser la formule arithmétique.
Additionner des taux : une hausse de 10% suivie d'une hausse de 20% ne donne pas 30% mais $1,1 \times 1,2 = 1,32$ soit 32%.
Négliger l'arrondi : dans un contexte de gestion, arrondir à l'euro ou à l'unité près selon le cas.

Questions fréquentes

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Ajustement statistique et prévisions Algorithmique et tableur en terminale STMG Fonction exponentielle en STMG Fonction inverse et asymptotes Indépendance en probabilités Logarithme décimal Loi binomiale en STMG Probabilités conditionnelles

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