Quelle est la différence entre P(A∩B) et P(A|B) ?

P(A∩B) est la probabilité que A et B se produisent en même temps. P(A|B) est la probabilité que A se produise sachant que B est déjà réalisé. Par exemple, P(être un particulier et acheter en ligne) vs P(être un particulier sachant qu'on achète en ligne).

Comment construire un arbre pondéré ?

Placez au premier niveau l'événement dont vous connaissez la probabilité simple. À chaque nœud, les branches représentent les issues possibles avec leurs probabilités conditionnelles. Assurez-vous que la somme des probabilités issues d'un même nœud vaut 1.

Quand utiliser la formule des probabilités totales ?

Lorsque vous voulez calculer la probabilité d'un événement B qui peut se produire via plusieurs chemins (par exemple, B peut arriver avec A ou avec non A). On additionne alors les probabilités des intersections correspondantes.

Pourquoi ne peut-on pas additionner les probabilités sur une même branche ?

Car les probabilités sur une branche sont des probabilités conditionnelles successives : pour obtenir la probabilité de l'intersection, on multiplie. Additionner donnerait un résultat supérieur à 1, ce qui n'a pas de sens.

Terminale STMG maths

Probabilités conditionnelles

Cours de probabilités conditionnelles pour Terminale STMG : définitions, arbre pondéré, méthode pas à pas, exemple guidé en gestion, exercices et pièges fréquen

Les probabilités conditionnelles permettent de calculer la probabilité d'un événement lorsqu'on sait qu'un autre événement s'est déjà produit. En gestion, cela sert par exemple à analyser le comportement des clients selon leur profil ou à évaluer des risques en entreprise.

À retenir

Probabilité conditionnelle : $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ , avec $P(B) > 0$ .
Intersection : $P(A \cap B) = P(B) \times P(A \mid B)$ .
Arbre pondéré : chaque branche porte une probabilité conditionnelle ; la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités le long de ce chemin.
Événement contraire : $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ .
Formule des probabilités totales : $P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)$ .

Méthode pas à pas

Identifier les événements : définir clairement $A$ , $B$ , etc.
Construire l'arbre : premier niveau pour l'événement dont on connaît la probabilité, second niveau pour l'autre événement.
Placer les probabilités : sur les branches du premier niveau, les probabilités simples ; sur les branches du second niveau, les probabilités conditionnelles.
Calculer une intersection : multiplier les probabilités le long du chemin.
Calculer une probabilité totale : additionner les probabilités de tous les chemins menant à l'événement.
Calculer une probabilité conditionnelle : utiliser la formule $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ .

Exemple guidé

Énoncé : Dans une entreprise, 60 % des clients sont des particuliers, les autres sont des professionnels. Parmi les particuliers, 30 % achètent en ligne ; parmi les professionnels, 80 % achètent en ligne. On interroge un client au hasard.

Question : Quelle est la probabilité que ce soit un particulier qui achète en ligne ?

Correction :

Événements : $P$ = "le client est un particulier", $L$ = "le client achète en ligne".
Arbre :
- Premier niveau : $P(P) = 0,60$ , $P(\overline{P}) = 0,40$ .
- Second niveau : $P(L \mid P) = 0,30$ , $P(\overline{L} \mid P) = 0,70$ ; $P(L \mid \overline{P}) = 0,80$ , $P(\overline{L} \mid \overline{P}) = 0,20$ .
$P(P \cap L) = P(P) \times P(L \mid P) = 0,60 \times 0,30 = 0,18$ .
Interprétation : 18 % des clients sont des particuliers qui achètent en ligne.

Question : Quelle est la probabilité qu'un client achète en ligne ?

Correction :

$P(L) = P(P \cap L) + P(\overline{P} \cap L) = 0,18 + (0,40 \times 0,80) = 0,18 + 0,32 = 0,50$ .
Interprétation : 50 % des clients achètent en ligne.

Question : Sachant qu'un client achète en ligne, quelle est la probabilité que ce soit un particulier ?

Correction :

$P(P \mid L) = \frac{P(P \cap L)}{P(L)} = \frac{0,18}{0,50} = 0,36$ .
Interprétation : Parmi les clients qui achètent en ligne, 36 % sont des particuliers.

Exercices types

Exercice 1 : Dans un magasin, 70 % des clients sont des femmes. Parmi les femmes, 40 % achètent un produit ; parmi les hommes, 60 % achètent un produit. Calculer la probabilité qu'un client choisi au hasard soit un homme qui achète un produit.

Corrigé : $P(H \cap A) = 0,30 \times 0,60 = 0,18$ .

Exercice 2 : Reprendre l'exercice 1. Calculer la probabilité qu'un client achète un produit.

Corrigé : $P(A) = 0,70 \times 0,40 + 0,30 \times 0,60 = 0,28 + 0,18 = 0,46$ .

Exercice 3 : Dans une entreprise, 20 % des employés sont des cadres. Parmi les cadres, 90 % ont un smartphone ; parmi les non-cadres, 60 % ont un smartphone. Calculer la probabilité qu'un employé soit cadre sachant qu'il a un smartphone.

Corrigé : $P(C \mid S) = \frac{0,20 \times 0,90}{0,20 \times 0,90 + 0,80 \times 0,60} = \frac{0,18}{0,18 + 0,48} = \frac{0,18}{0,66} \approx 0,2727$ .

Exercice 4 : Un test de dépistage d'une maladie est positif chez 95 % des malades et négatif chez 90 % des non-malades. La maladie touche 1 % de la population. Quelle est la probabilité d'être malade si le test est positif ?

Corrigé : $P(M \mid T^+) = \frac{0,01 \times 0,95}{0,01 \times 0,95 + 0,99 \times 0,10} = \frac{0,0095}{0,0095 + 0,099} \approx 0,0876$ .

Pièges fréquents

Inverser la condition : $P(A \mid B) \neq P(B \mid A)$ . Exemple : confondre "probabilité d'être un particulier sachant qu'on achète en ligne" avec "probabilité d'acheter en ligne sachant qu'on est un particulier".
Additionner au lieu de multiplier : sur un arbre, on multiplie les probabilités le long d'une branche, on ne les additionne pas.
Oublier l'événement contraire : dans un arbre, les branches issues d'un même nœud doivent totaliser 1. Vérifiez que $P(A) + P(\overline{A}) = 1$ et que $P(B \mid A) + P(\overline{B} \mid A) = 1$ .
Confondre probabilité conditionnelle et intersection : $P(A \cap B)$ est la probabilité que A et B se produisent ; $P(A \mid B)$ est la probabilité de A sachant que B est réalisé.
Ne pas vérifier que $P(B) > 0$ : la probabilité conditionnelle n'est définie que si $P(B) \neq 0$ .

Questions fréquentes

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