Quelle est la différence entre log et ln ?

log est le logarithme décimal (base 10), ln est le logarithme népérien (base e). Ils ne sont pas interchangeables.

Peut-on prendre le log d'un nombre négatif ?

Non, le logarithme n'est défini que pour les nombres strictement positifs.

Comment résoudre une équation avec log ?

Si l'équation est de la forme 10^x = a, alors x = log(a). Pour d'autres formes, on utilise les propriétés des logarithmes.

À quoi sert le logarithme en gestion ?

Il permet de modéliser des croissances exponentielles (intérêts composés, évolution de ventes) et de lire des graphiques en échelle logarithmique.

Terminale STMG maths

Logarithme décimal

Cours complet sur le logarithme décimal pour Terminale STMG : définitions, propriétés, méthode pas à pas, exemple guidé en gestion, exercices corrigés et pièges

Le logarithme décimal est un outil mathématique qui permet de manipuler des nombres très grands ou très petits, fréquents en gestion (chiffre d'affaires, population, taux d'intérêt). Il est lié aux puissances de 10 et permet de résoudre des équations où l'inconnue est un exposant. Par exemple, pour déterminer le temps nécessaire pour doubler un capital avec un taux donné, on utilise le logarithme décimal.

À retenir

Définition : Pour tout nombre $a > 0$ , le logarithme décimal de $a$ , noté $\log(a)$ , est le nombre $x$ tel que $10^x = a$ . Autrement dit : $\log(a) = x \iff 10^x = a$ .
Propriétés :
- $\log(1) = 0$ car $10^0 = 1$ .
- $\log(10) = 1$ car $10^1 = 10$ .
- $\log(10^n) = n$ pour tout entier $n$ .
- $\log(a \times b) = \log(a) + \log(b)$ (pour $a>0$ , $b>0$ ).
- $\log\left(\frac{a}{b}\right) = \log(a) - \log(b)$ .
- $\log(a^n) = n \times \log(a)$ .
Utilisation : Résoudre des équations du type $10^x = a$ en prenant $\log$ des deux côtés : $x = \log(a)$ .

Méthode pas à pas

Identifier si l'équation est de la forme $10^x = a$ ou si elle peut s'y ramener.
Appliquer le logarithme décimal : $x = \log(a)$ .
Calculer $\log(a)$ à l'aide de la calculatrice (touche log).
Arrondir selon la consigne (généralement 2 ou 3 décimales).
Interpréter le résultat dans le contexte (exemple : nombre d'années, pourcentage).

Exemple guidé

Contexte : Une entreprise a un chiffre d'affaires de 50 000 €. Elle souhaite atteindre 200 000 €. Si elle croît de 8% par an, combien d'années cela prendra-t-il ?

Données :

Valeur initiale $V_0 = 50\,000$
Valeur finale $V = 200\,000$
Taux de croissance annuel $t = 0.08$

Formule : $V = V_0 \times (1+t)^n$ où $n$ est le nombre d'années.

Résolution :

$200\,000 = 50\,000 \times (1.08)^n$
Diviser par 50 000 : $4 = (1.08)^n$
Appliquer le logarithme décimal : $\log(4) = \log((1.08)^n) = n \times \log(1.08)$
Isoler $n$ : $n = \frac{\log(4)}{\log(1.08)}$
Calculer : $\log(4) \approx 0.60206$ , $\log(1.08) \approx 0.03342$ , donc $n \approx \frac{0.60206}{0.03342} \approx 18.01$ .
Interprétation : Il faudra environ 18 ans pour que le chiffre d'affaires atteigne 200 000 €.

Exercices types

Calcul simple : Calculez $\log(1000)$ .
- Corrigé : $\log(1000) = \log(10^3) = 3$ .
Équation : Résoudre $10^x = 250$ .
- Corrigé : $x = \log(250) \approx 2.3979$ .
Application gestion : Un investissement de 10 000 € augmente de 5% par an. Au bout de combien d'années atteindra-t-il 15 000 € ?
- Corrigé : $15\,000 = 10\,000 \times (1.05)^n \Rightarrow 1.5 = (1.05)^n \Rightarrow n = \frac{\log(1.5)}{\log(1.05)} \approx \frac{0.1761}{0.02119} \approx 8.31$ ans, soit environ 8 ans et 4 mois.
Échelle logarithmique : Sur un graphique en échelle logarithmique, une valeur passe de 100 à 1000. Quelle est la différence en unités logarithmiques ?
- Corrigé : $\log(1000) - \log(100) = 3 - 2 = 1$ unité.

Pièges fréquents

Confondre log et ln : Le logarithme décimal (log) est en base 10, le logarithme népérien (ln) est en base $e$ . Ne pas les utiliser indifféremment.
Oublier que log(a) n'existe que pour a > 0 : On ne peut pas prendre le log d'un nombre négatif ou nul.
Mal appliquer les propriétés : Par exemple, $\log(a+b) \neq \log(a) + \log(b)$ .
Arrondir trop tôt : Effectuer les calculs avec suffisamment de décimales avant d'arrondir le résultat final.
Interpréter incorrectement : Un logarithme n'est pas une valeur absolue mais un exposant. Par exemple, $\log(100)=2$ signifie que $10^2=100$ .

Questions fréquentes

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