Comment calculer $e^x$ sur une calculatrice ?

Utilisez la touche $e^x$ (souvent accessible via la touche "ln" ou "2nd"). Entrez la valeur de $x$ puis appuyez sur $e^x$.

Que faire si l'équation est $e^{2x} = 5$ ?

Appliquez le logarithme népérien : $2x = \ln(5)$, donc $x = \frac{\ln(5)}{2}$.

Pourquoi la fonction exponentielle est-elle toujours positive ?

Par définition, $e^x$ est le résultat d'une exponentielle, qui ne peut jamais être négatif ou nul. Graphiquement, la courbe est toujours au-dessus de l'axe des abscisses.

Terminale STMG maths

Fonction exponentielle en STMG

Cours complet sur la fonction exponentielle pour Terminale STMG : définitions, méthode pas à pas, exemple guidé en gestion, exercices corrigés et pièges à évite

La fonction exponentielle est un outil mathématique qui permet de modéliser des phénomènes de croissance ou de décroissance rapide, comme l'évolution d'une clientèle, d'un chiffre d'affaires ou d'une population. En STMG, vous l'utiliserez pour analyser des données, faire des prévisions et interpréter des courbes.

À retenir

La fonction exponentielle est définie par $f(x) = e^x$ , où $e \approx 2,718$ .
Elle est toujours positive : $e^x > 0$ pour tout $x$ réel.
Sa courbe est strictement croissante : plus $x$ augmente, plus $e^x$ augmente rapidement.
Équation simple : $e^x = a$ avec $a > 0$ a une unique solution $x = \ln(a)$ (logarithme népérien).
En gestion, on utilise souvent la forme $f(t) = a \cdot e^{kt}$ pour modéliser une évolution.

Méthode pas à pas

Identifier la fonction : repérez la forme exponentielle (présence de $e$ ).
Calculer une image : remplacez la variable par un nombre et utilisez la calculatrice (touche $e^x$ ).
Lire graphiquement : sur la courbe, trouvez l'ordonnée correspondant à une abscisse donnée, ou inversement.
Résoudre une équation simple : isolez $e^x$ puis appliquez le logarithme.
Interpréter : donnez la signification du résultat dans le contexte (exemple : "au bout de 3 mois, le nombre de clients est de 150").

Exemple guidé

Contexte : Une entreprise estime que le nombre de clients (en milliers) suit la fonction $f(t) = 2 \cdot e^{0,1t}$ , où $t$ est le temps en années depuis 2020.

Question : Quel est le nombre de clients prévu en 2025 ?

Étapes :

$t = 2025 - 2020 = 5$ .
Calculer $f(5) = 2 \cdot e^{0,1 \times 5} = 2 \cdot e^{0,5}$ .
Avec la calculatrice : $e^{0,5} \approx 1,6487$ , donc $f(5) \approx 2 \times 1,6487 = 3,2974$ .
Interprétation : en 2025, le nombre de clients prévu est d'environ 3 297 (car en milliers).

Exercices types

Calcul d'image : Soit $f(x) = 3e^{0,2x}$ . Calculez $f(4)$ .
- Corrigé : $f(4) = 3e^{0,8} \approx 3 \times 2,2255 = 6,6765$ .
Lecture graphique : La courbe de $g(t) = 5e^{-0,1t}$ passe par le point (0 ; 5). Quelle est l'image de $t=10$ ?
- Corrigé : $g(10) = 5e^{-1} \approx 5 \times 0,3679 = 1,8395$ .
Équation simple : Résoudre $e^{x} = 7$ .
- Corrigé : $x = \ln(7) \approx 1,9459$ .
Interprétation : Une population de bactéries double toutes les heures. Si $N(t) = 100 \cdot e^{0,693t}$ , que représente $N(3)$ ?
- Corrigé : $N(3) = 100 \cdot e^{2,079} \approx 100 \times 8 = 800$ bactéries après 3 heures.

Pièges fréquents

Confondre exponentielle et puissance : $e^x$ n'est pas égal à $x^e$ .
Oublier que $e^x > 0$ : une équation comme $e^x = -2$ n'a pas de solution.
Négliger l'unité : toujours préciser l'unité (milliers, euros, etc.) dans l'interprétation.
Utiliser la calculatrice en mode radian/degré : pour $e^x$ , le mode n'a pas d'importance, mais pour les fonctions trigonométriques, attention.
Croire que la courbe est linéaire : l'exponentielle croît de plus en plus vite, contrairement à une droite.

Questions fréquentes

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Ajustement statistique et prévisions Algorithmique et tableur en terminale STMG Fonction inverse et asymptotes Indépendance en probabilités Logarithme décimal Loi binomiale en STMG Probabilités conditionnelles Suites arithmétiques et géométriques

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