Qu'est-ce qu'une asymptote ?

Une asymptote est une droite dont la courbe d'une fonction se rapproche de plus en plus sans jamais la toucher. Par exemple, pour la fonction inverse $f(x)=1/x$, les axes $x=0$ et $y=0$ sont des asymptotes.

Pourquoi la fonction inverse n'est-elle pas définie en 0 ?

Parce que la division par 0 est impossible en mathématiques. On dit que 0 est une valeur interdite.

Comment lire graphiquement une asymptote verticale ?

On regarde la valeur de $x$ pour laquelle la courbe monte ou descend infiniment. Par exemple, pour $f(x)=1/(x-2)$, la courbe monte infiniment près de $x=2$ : c'est une asymptote verticale.

Quelle est l'utilité des asymptotes en gestion ?

Elles permettent de modéliser des phénomènes de saturation ou de coût minimal. Par exemple, le coût unitaire d'un produit tend vers un seuil (asymptote horizontale) quand la production augmente.

Terminale STMG maths

Fonction inverse et asymptotes

Cours de terminale STMG sur la fonction inverse et les asymptotes : définitions, méthode pas à pas, exemple guidé en gestion, exercices et pièges fréquents.

La fonction inverse et les asymptotes sont des outils essentiels pour analyser des situations de gestion, comme l'évolution d'un coût unitaire ou la saturation d'un marché. Comprendre comment une courbe se comporte près d'une valeur interdite permet de prendre des décisions éclairées.

À retenir

Fonction inverse : $f(x) = \frac{1}{x}$
Valeur interdite : $x = 0$ (la fonction n'est pas définie en 0)
Asymptote : droite dont la courbe se rapproche sans jamais la toucher.
- Asymptote verticale : $x = 0$ (la courbe monte ou descend infiniment près de cette droite)
- Asymptote horizontale : $y = 0$ (la courbe se rapproche de l'axe des abscisses quand $x$ devient très grand ou très petit)

Méthode pas à pas

Identifier la valeur interdite : regarder le dénominateur de la fonction. Pour $f(x) = \frac{1}{x}$ , $x=0$ est interdit.
Observer le comportement près de la valeur interdite : que se passe-t-il quand $x$ s'approche de 0 par la gauche ( $x<0$ ) ou par la droite ( $x>0$ ) ?
Identifier l'asymptote verticale : si la courbe monte ou descend infiniment, la droite $x = 0$ est une asymptote verticale.
Identifier l'asymptote horizontale : regarder le comportement quand $x$ devient très grand ( $x \to +\infty$ ) ou très petit ( $x \to -\infty$ ). Si la courbe se rapproche d'une valeur constante $y = a$ , alors $y = a$ est une asymptote horizontale.
Interpréter dans le contexte : par exemple, si $x$ représente la quantité produite et $f(x)$ le coût unitaire, l'asymptote horizontale indique le coût unitaire minimal possible.

Exemple guidé

Contexte : Une entreprise produit des objets. Le coût unitaire (en €) est modélisé par $C(x) = \frac{100}{x} + 5$ , où $x$ est le nombre d'objets produits (en milliers).

Question : Déterminer les asymptotes de la fonction $C$ et interpréter.

Étapes :

Valeur interdite : $x = 0$ (dénominateur nul).
Asymptote verticale : quand $x$ s'approche de 0, $\frac{100}{x}$ devient très grand, donc $C(x)$ tend vers $+\infty$ . La droite $x=0$ est asymptote verticale. Interprétation : si la production est nulle, le coût unitaire est infini (pas de production).
Asymptote horizontale : quand $x$ devient très grand, $\frac{100}{x}$ tend vers 0, donc $C(x)$ tend vers 5. La droite $y=5$ est asymptote horizontale. Interprétation : plus on produit, plus le coût unitaire se rapproche de 5 € (coût fixe par objet).

Résultat : Asymptote verticale $x=0$ , asymptote horizontale $y=5$ .

Exercices types

Exercice 1 : Soit $f(x) = \frac{1}{x}$ . Pourquoi $x=0$ est-il interdit ?
- Corrigé : Car la division par 0 est impossible.
Exercice 2 : Identifier l'asymptote verticale de $g(x) = \frac{2}{x-3}$ .
- Corrigé : Valeur interdite $x=3$ , donc asymptote verticale $x=3$ .
Exercice 3 : Lire graphiquement $f(2)$ pour $f(x) = \frac{1}{x}$ .
- Corrigé : $f(2) = \frac{1}{2} = 0,5$ .
Exercice 4 : Comparer $\frac{1}{2}$ et $\frac{1}{10}$ .
- Corrigé : $\frac{1}{2} = 0,5$ et $\frac{1}{10} = 0,1$ , donc $\frac{1}{2} > \frac{1}{10}$ .

Pièges fréquents

Oublier la valeur interdite : toujours vérifier le dénominateur.
Confondre asymptote et tangente : une asymptote est une droite dont la courbe se rapproche, pas une droite qui touche la courbe en un point.
Croire que la fonction inverse n'a qu'une asymptote : elle en a deux (verticale et horizontale).
Interpréter trop théoriquement : en STMG, on se concentre sur la lecture graphique et l'interprétation concrète.
Négliger le signe : près de 0, $\frac{1}{x}$ est négatif si $x<0$ , positif si $x>0$ .

Questions fréquentes

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Ajustement statistique et prévisions Algorithmique et tableur en terminale STMG Fonction exponentielle en STMG Indépendance en probabilités Logarithme décimal Loi binomiale en STMG Probabilités conditionnelles Suites arithmétiques et géométriques

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