Quand utiliser la loi binomiale ?

Lorsqu'on répète une même expérience aléatoire à deux issues (succès/échec) de façon indépendante et avec la même probabilité de succès à chaque fois.

Comment calculer P(X = k) avec la calculatrice ?

Utiliser la fonction binomFdp(n, p, k) sur Casio ou binompdf(n, p, k) sur TI.

Que signifie le coefficient binomial ?

Il donne le nombre de façons d'obtenir k succès parmi n répétitions.

Quelle est la différence entre P(X=k) et P(X≤k) ?

P(X=k) est la probabilité d'obtenir exactement k succès ; P(X≤k) est la probabilité d'en obtenir au plus k.

Terminale STMG maths

Loi binomiale en STMG

Cours complet sur la loi binomiale pour la terminale STMG : définitions, méthode pas à pas, exemple guidé en gestion, exercices corrigés et pièges à éviter.

En gestion, on rencontre souvent des situations où l'on répète une même action (interroger des clients, contrôler des produits, lancer une campagne) et on s'intéresse au nombre de succès. La loi binomiale est l'outil mathématique qui permet de modéliser ces situations et de calculer des probabilités. Elle est essentielle pour prendre des décisions éclairées en entreprise.

À retenir

Épreuve de Bernoulli : expérience aléatoire à deux issues possibles : succès (S) ou échec (E).
Schéma de Bernoulli : répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
Loi binomiale : variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli. On note $X \sim B(n ; p)$ où $p$ est la probabilité de succès à chaque épreuve.
Coefficient binomial : $\binom{n}{k}$ = nombre de façons d'obtenir $k$ succès parmi $n$ répétitions.
Formule : $P(X = k) = \binom{n}{k} \times p^k \times (1-p)^{n-k}$ .
Calculatrice : utiliser les fonctions binomFdp(n,p,k) pour $P(X=k)$ et binomFrép(n,p,k) pour $P(X \leq k)$ .

Méthode pas à pas

Vérifier les conditions : répétitions indépendantes, deux issues, probabilité $p$ constante.
Identifier $n$ et $p$ : $n$ = nombre de répétitions, $p$ = probabilité de succès.
Traduire la question : "au moins 3 succès" = $P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2)$ ; "exactement 5" = $P(X = 5)$ .
Calculer : utiliser la formule ou la calculatrice.
Interpréter : donner le résultat en phrase.

Exemple guidé

Situation : Un site e-commerce a un taux de satisfaction client de 85 %. On interroge 10 clients au hasard. On suppose que les réponses sont indépendantes. Quelle est la probabilité qu'exactement 8 clients soient satisfaits ?

Étapes :

Conditions : oui, indépendance et même probabilité.
$n = 10$ , $p = 0,85$ .
On cherche $P(X = 8)$ .
Calcul : $P(X = 8) = \binom{10}{8} \times 0,85^8 \times 0,15^2$ $P (X = 8) = (8 10) \times 0, 8 5^{8} \times 0, 1 5^{2}$ .
- $\binom{10}{8} = 45$ .
- $0,85^8 \approx 0,2725$ ; $0,15^2 = 0,0225$ .
- $P(X = 8) \approx 45 \times 0,2725 \times 0,0225 \approx 0,2759$ .
Interprétation : il y a environ 27,6 % de chances qu'exactement 8 clients sur 10 soient satisfaits.

Exercices types

Exercice : Un commercial effectue 15 appels par jour. La probabilité de décrocher un rendez-vous est 0,2. Soit $X$ le nombre de rendez-vous obtenus. Calculer $P(X = 3)$ .
- Corrigé : $n=15$ , $p=0,2$ . $P(X=3) = \binom{15}{3} \times 0,2^3 \times 0,8^{12} \approx 0,2501$ .
Exercice : Dans un lot de 100 pièces, 5 % sont défectueuses. On prélève 20 pièces avec remise. Quelle est la probabilité d'avoir au plus 2 pièces défectueuses ?
- Corrigé : $n=20$ , $p=0,05$ . $P(X \leq 2) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$ . Calculs : $P(X=0) \approx 0,3585$ , $P(X=1) \approx 0,3774$ , $P(X=2) \approx 0,1887$ , somme $\approx 0,9246$ .
Exercice : Un sondage indique que 60 % des clients préfèrent un nouveau produit. Sur 8 clients interrogés, probabilité qu'au moins 6 le préfèrent ?
- Corrigé : $n=8$ , $p=0,6$ . $P(X \geq 6) = 1 - P(X \leq 5)$ . $P(X \leq 5) \approx 0,6846$ , donc $P(X \geq 6) \approx 0,3154$ .
Exercice : Vrai ou faux ? "Si on lance une pièce équilibrée 10 fois, le nombre de faces suit une loi binomiale."
- Corrigé : Vrai, car deux issues (face/pile), probabilité constante 0,5, indépendance.

Pièges fréquents

Oublier l'indépendance : la loi binomiale ne s'applique que si les répétitions sont indépendantes (ex : tirage avec remise).
Confondre $P(X=k)$ et $P(X \leq k)$ : lire l'énoncé attentivement ("exactement" vs "au plus").
Inverser succès et échec : bien identifier ce qui est le "succès" (ex : client satisfait, pièce défectueuse).
Utiliser la loi binomiale pour une seule épreuve : elle nécessite $n \geq 2$ .
Mal utiliser la calculatrice : vérifier l'ordre des paramètres (n, p, k) et la fonction (Fdp pour exact, Frép pour cumul).

Questions fréquentes

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