Quelle est la différence entre événements indépendants et incompatibles ?

Deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se produire en même temps (intersection vide). Ils sont indépendants si la probabilité de leur intersection est égale au produit de leurs probabilités. En général, des événements incompatibles ne sont pas indépendants (sauf si l'un a une probabilité nulle).

Comment vérifier si deux événements sont indépendants ?

On calcule P(A), P(B) et P(A∩B). On compare P(A∩B) avec P(A)×P(B). Si égalité, ils sont indépendants. Sinon, ils sont dépendants.

Pourquoi l'indépendance est-elle utile en gestion ?

Elle permet de déterminer si des phénomènes (achats, satisfaction, défauts) sont liés ou non, ce qui aide à prendre des décisions (marketing, gestion des stocks, contrôle qualité).

Terminale STMG maths

Indépendance en probabilités

Cours sur l'indépendance en probabilités pour Terminale STMG : définition, méthode, exemple guidé en gestion, exercices et pièges.

En gestion, on cherche souvent à savoir si deux phénomènes sont liés. Par exemple, le fait qu'un client ait acheté un produit influence-t-il la probabilité qu'il en achète un autre ? L'indépendance en probabilités permet de répondre à ce type de question de manière rigoureuse.

À retenir

Deux événements A et B sont indépendants si la réalisation de l'un ne modifie pas la probabilité de l'autre.
Définition mathématique : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ .
Autre formulation : $P(A \mid B) = P(A)$ (si $P(B) > 0$ ) ou $P(B \mid A) = P(B)$ (si $P(A) > 0$ ).
Attention : indépendance ne signifie pas incompatibilité (événements disjoints). Deux événements incompatibles ne peuvent pas être indépendants (sauf si l'un a une probabilité nulle).

Méthode pas à pas

Pour déterminer si deux événements A et B sont indépendants :

Calculer $P(A)$ , $P(B)$ et $P(A \cap B)$ .
Calculer le produit $P(A) \times P(B)$ .
Comparer $P(A \cap B)$ $P (A \cap B)$ et $P(A) \times P(B)$ $P (A) \times P (B)$ .
- Si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ , alors A et B sont indépendants.
- Sinon, ils sont dépendants.
Conclure par une phrase claire.

Exemple guidé

Une entreprise vend deux produits : X et Y. Sur 1000 clients, 300 ont acheté X, 200 ont acheté Y, et 60 ont acheté les deux. On note A : "le client a acheté X" et B : "le client a acheté Y".

$P(A) = \frac{300}{1000} = 0,3$
$P(B) = \frac{200}{1000} = 0,2$
$P(A \cap B) = \frac{60}{1000} = 0,06$
Produit : $P(A) \times P(B) = 0,3 \times 0,2 = 0,06$
On a $P(A \cap B) = 0,06 = P(A) \times P(B)$ . Donc les événements A et B sont indépendants. Cela signifie que le fait d'acheter X n'influence pas l'achat de Y.

Exercices types

Exercice 1 : Dans une enquête, 40 % des clients sont satisfaits (S), 30 % sont fidèles (F), et 12 % sont à la fois satisfaits et fidèles. Les événements S et F sont-ils indépendants ?

Corrigé : $P(S)=0,4$ , $P(F)=0,3$ , $P(S \cap F)=0,12$ . Produit : $0,4 \times 0,3 = 0,12$ . Donc $P(S \cap F) = P(S) \times P(F)$ : ils sont indépendants.

Exercice 2 : On lance un dé équilibré. Soit A : "obtenir un nombre pair" et B : "obtenir un multiple de 3". A et B sont-ils indépendants ?

Corrigé : $P(A)=\frac{3}{6}=0,5$ , $P(B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ , $P(A \cap B)=P(\text{obtenir 6})=\frac{1}{6}$ . Produit : $0,5 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ . Donc indépendants.

Exercice 3 : Dans un stock, 70 % des articles sont de type A, 20 % sont défectueux (D), et 15 % sont à la fois de type A et défectueux. A et D sont-ils indépendants ?

Corrigé : $P(A)=0,7$ , $P(D)=0,2$ , $P(A \cap D)=0,15$ . Produit : $0,7 \times 0,2 = 0,14$ . $0,15 \neq 0,14$ , donc dépendants.

Exercice 4 : On tire une carte d'un jeu de 32. Soit A : "tirer un roi" et B : "tirer un cœur". A et B sont-ils indépendants ?

Corrigé : $P(A)=\frac{4}{32}=0,125$ , $P(B)=\frac{8}{32}=0,25$ , $P(A \cap B)=P(\text{roi de cœur})=\frac{1}{32}=0,03125$ . Produit : $0,125 \times 0,25 = 0,03125$ . Donc indépendants.

Pièges fréquents

Confondre indépendance et incompatibilité : Deux événements incompatibles ne peuvent pas être indépendants (sauf probabilité nulle). Par exemple, si A et B ne peuvent pas se produire en même temps, $P(A \cap B)=0$ , donc le produit $P(A) \times P(B)$ doit être nul pour qu'ils soient indépendants, ce qui n'est généralement pas le cas.
Oublier de vérifier par le calcul : Ne pas affirmer l'indépendance sans avoir comparé $P(A \cap B)$ et $P(A) \times P(B)$ .
Arrondir trop tôt : Les arrondis peuvent fausser l'égalité. Il faut garder les valeurs exactes ou suffisamment de décimales.
Croire que $P(A \mid B) = P(B \mid A)$ : Ces probabilités sont différentes en général. L'indépendance se vérifie avec $P(A \mid B) = P(A)$ ou $P(B \mid A) = P(B)$ .
Interpréter l'indépendance comme une absence de lien : L'indépendance probabiliste ne signifie pas qu'il n'y a aucun lien de cause à effet, mais seulement que la probabilité de l'un n'est pas modifiée par la connaissance de l'autre.

Questions fréquentes

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